Cubical set は, 簡単に言えば, simplicial set の定義の単体を, 立方体に変えて得られるものである。
誰が最初に考えたのか知らないが, 私が最初に知ったのは, Serre が Serre spectral sequence の積構造を扱うために使った論文
[Ser51] であった。もちろん, その後も様々な場面で使われている。
Simplicial set 程一般的ではなかったので, あまり解説はなかったが, 最近色々読めるものが出てきた。 Patchkoria の [Pat] では,
Kan の [Kan55], Brown と Higgins の [BH81] などが参照されているが, これらが「古典的な」文献と言うべきものだろう。
Fenn と Rourke と Sanderson の [FRS95] も見るとよい。 Martins と Picken の [MP] では, 他に
[Jar06; GM03] などが挙げられている。 最近のものでは, Richard Williamson の lecture note [Wil] がある。
より詳しいものとしては, Doherty, Kapulkin, Lindsey, Sattler の [Doh+] が良さそうである。これらでは Kan
condition も扱われている。 ホモトピー群については, Carranza と Kapulkin の [CK] が詳しい。4つの記述が述べられ,
それらが同値であることが示されている。
位相空間について, singular simplicial set を用いて定義したホモロジー と singular cubical set
を用いたものが同型になることについても, 誰が最初に証明したのか知らないが, 例えば Patchkoria の [Pat] に, simplicial
derived functor と cubical derived functor が一致することの corollary として述べられている。
単体的複体の定義を思い出せば分かるように, 具体的なデータから作られるものには degeneracy を持たないものが多い。
Degeneracy を持たない simplicial set は, \(\Delta \)-set や presimplicial set などと呼ばれて様々な場面で使われているが,
degeneracy を持たない cubical set も様々な用途があるようである。もちろん, 単体的複体に対応する cubical complex
もある。
Fenn と Rourke と Sanderson [FRS95; FRS07] は、 rack や trunk の分類空間の構成に用いている。
並列処理のモデルとしては, higher dimensional automaton (HDA) として登場する。
Cubical set の拡張も色々考えられている。Grandis と Mauri の [GM03] にいくつか書かれている。新しいものでは,
Issacson [Isa11] の定義したものがある。
- cubical set with connections
- cubical set with interchanges
Cubical set with connections は Brown と Higgins の [BH81] で Seifert-van Kampen
theorem の高次元への一般化ために導入された。ただ, 彼等の論文によると, そのような構造は, 既に Evrard の 1976 の preprint
“Homotopie des complexes simpliciaux et cubiques” に登場しているらしい。
Covez [Cov] は, 群の Leibniz homology に関する Loday の予想との関連で, \(L\)-set という cubical set
の変種を定義している。
近年, 単体的集合は, higher category を扱うために有用であることが認識されるようになり, \((\infty ,1)\)-category の理論や
homotopy type theory が盛んに研究されている。ホモトピー論の枠組みとしては cubical set も simplicial set
と同等なので, この手のことを cubical set を用いて行おうという試みがあっても不思議ではない。実際, Bezem と Coquand と
Huber の [BCH14] や Kachour の [Kac14], Doherty と Kapulkin と Lindsey と Sattler の
[Doh+] はそのような試みである。
References
-
[BCH14]
-
Marc Bezem, Thierry Coquand, and Simon Huber. “A model of type
theory in cubical sets”. In: 19th International Conference on Types
for Proofs and Programs. Vol. 26. LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform.
Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2014, pp. 107–128.
-
[BH81]
-
Ronald Brown and Philip J. Higgins. “On the algebra of
cubes”. In: J. Pure Appl. Algebra 21.3 (1981), pp. 233–260. url:
http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(81)90018-9.
-
[CK]
-
Daniel Carranza and Chris Kapulkin. Homotopy groups of cubical
sets. arXiv: 2202.03511.
-
[Cov]
-
Simon Covez. Rack homology and conjectural Leibniz homology.
arXiv: 1402.1625.
-
[Doh+]
-
Brandon Doherty, Chris Kapulkin, Zachery Lindsey, and Christian
Sattler. Cubical models of \((\infty , 1)\)-categories. arXiv: 2005.04853.
-
[FRS07]
-
Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “The rack space”.
In: Trans.
Amer. Math. Soc. 359.2 (2007), pp. 701–740. arXiv: math/0304228.
url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03912-2.
-
[FRS95]
-
Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “Trunks
and classifying spaces”. In: Appl. Categ. Structures 3.4 (1995),
pp. 321–356. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00872903.
-
[GM03]
-
Marco Grandis and Luca Mauri. “Cubical sets and their site”. In:
Theory Appl. Categ. 11 (2003), No. 8, 185–211.
-
[Isa11]
-
Samuel B. Isaacson. “Symmetric cubical sets”. In: J. Pure Appl.
Algebra 215.6 (2011), pp. 1146–1173. arXiv: 0910 . 4948. url:
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.08.001.
-
[Jar06]
-
J. F. Jardine. “Categorical homotopy
theory”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 71–144. url:
http://projecteuclid.org/euclid.hha/1140012467.
-
[Kac14]
-
Camell Kachour. “Aspects of globular higher category theory”. In:
Bull. Aust. Math. Soc. 90.1 (2014), pp. 172–173. arXiv: 1702.00336.
url: https://doi.org/10.1017/S0004972714000288.
-
[Kan55]
-
Daniel M. Kan. “Abstract homotopy. I”. In: Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A. 41 (1955), pp. 1092–1096.
-
[MP]
-
Joao Faria Martins and Roger Picken. A Cubical Set Approach to
2-Bundles with Connection and Wilson Surfaces. arXiv: 0808.3964.
-
[Pat]
-
Irakli Patchkoria. Comparison of Cubical and Simplicial Derived
Functors. arXiv: 1011.4870.
-
[Ser51]
-
Jean-Pierre Serre. “Homologie singulière des espaces fibrés.
Applications”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 425–505. url:
http://dx.doi.org/10.2307/1969485.
-
[Wil]
-
Richard Williamson. Combinatorial homotopy theory. url: http://rwilliamson-mathematics.info/combinatorial_homotopy_theory/combinatorial_homotopy_theory.html.
|