Combinatorial Commutative Algebra

Combinatorial commutative algebra という言葉が, Novik と Postnikov と Sturmfels の [NPS02] の最初に登場する。そこでは, 多項式環の生成元と関係式に関する組み合せ論, というような意味で用いられているようである。また Sturmfels は Ezra Miller と [MS05] という本も書いている。

Novik らの論文や Dochtermann と Mohammadi の[DM] では基本的な問題として, 多項式間の monomial ideal の free resolution を求める ことが挙げられている。Herzog と Takayama [HT02] は mapping cone を取ることを繰り返して得られる resolution について調べているが, Dochtermann と Mohammadi の [DM] は, それを regular cell complex レベルで実現しようというものである。元々, Herzog と Takayama の motivation は Bayer と Sturmfels [BS98] の regular cell complex を用いた resolution の構成にあるのだから, 自然な流れである。

他にも topological combintorics と可換環の関係として最も有名なのは 単体的複体の Stanley-Reisner 環である。

  • Stanley-Reisner 環

二つの単体的複体の Stanley-Reisner 環が同型になるとき, それらは単体的複体として同型か, というのは自然な問題である。その肯定的な解答は, Bruns と Gubeladze [BG96] により与えられた。Zaare と Nahandi の [Zaa] にも証明がある。

Stanley-Reisner 環を用いることにより Cohen-Macauley などの環論的概念が単体的複体にも導入され, 単体的複体の組み合せ論的性質を調べるのに重要な役割を果す。Sequential Cohen-Macauley や homotopy Cohen-Macauley といった 拡張は, それぞれ [Sta96] と [BWW05] で定義さ れた。

  • Cohen-Macauley simplicial complex
  • sequentically Cohen-Macauley simplicial complex
  • Cohen-Macauley であるための必要十分条件は sequentially Cohen-Macauley かつ pure [Wac99]
  • homotopy Cohen-Macauley simplicial complex
  • sequentially homotopy Cohen-Macauley simplicial complex

これらの Cohen-Macauley simplicial complex や poset の性質は, Björner と Wachs と Welker により [BWW09] で調べられている。その Appendix では, その環論的な意味についても述べてある。

Novik と Swartz [NS] によると, Stanley [Sta77] による Cohen-Macauley simplicial complex の \(f\)-vector の特徴付けは, Schenzel [Sch81] により, 頂点の link が Cohen-Macauley である simplicial complex へ拡張された。そのような simplicial complex を Buchsbaum complex というらしい。Novik と Swartz は, 頂点の link が Buchsbaum complex になっているものを考えている。その motivation は, Miller との [MNS11] にあるように, “特異点を持つ単体的複体”への拡張である。

  • Buchsbaum complex
  • simplicial complex with homologically isolated singularities

通常の代数的トポロジーの道具でもかなりの組み合せ論的情報を取り出すことができるが, もちろん, 失われる情報も多い。Fløystad は [Flø07] で単体的複体の enriched (co)homology というものを定義した。 単体的複体のホモロジーで失なわれる組み合せ論的性質を保持するものである。 更に, [Flø06] では, その定義がregular cell complex にも拡張されている。

重心細分を行なったときの Stanley-Reisner 環に現われる効果について, Kubitzke と Welker が [KW] で調べている。そこでは “multiplicity conjecture” が証明されている。

Stanley-Reisner 環と affine monoid の monoid ring を統一的に扱おうという試みが, Ichim-Römer により [IR07] で行なわれている。

Gröbner basis も combinatorial commutative algebra の主要な話題の一つである。

  • Gröbner basis

Gröbner basis に関する本は数多いが, 凸多面体との関係について扱ったものとして, Sturmfels の [Stu96] がある。

Lev Borisov は, [Bor05] で higher Stanley-Reisner 環というものを定義しているが, それに対応する幾何学的 (組み合せ論的) な対象は何なのだろうか。

  • higher Stanley-Reisner環

可換環と matroid との関係については, Brennan と Epstein の [BE] の Introduction に, いくつかの文献が挙げられている。

References

[BE]

Joseph P. Brennan and Neil Epstein. Noether normalizations, reductions of ideals, and matroids. arXiv: 1008.0156.

[BG96]

W. Bruns and J. Gubeladze. “Combinatorial invariance of Stanley-Reisner rings”. In: Georgian Math. J. 3.4 (1996), pp. 315–318. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02256722.

[Bor05]

Lev A. Borisov. “Higher-Stanley-Reisner rings and toric residues”. In: Compos. Math. 141.1 (2005), pp. 161–174. arXiv: math/0306307. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X04000831.

[BS98]

Dave Bayer and Bernd Sturmfels. “Cellular resolutions of monomial modules”. In: J. Reine Angew. Math. 502 (1998), pp. 123–140. arXiv: alg-geom/9711023. url: https://doi.org/10.1515/crll.1998.083.

[BWW05]

Anders Björner, Michelle L. Wachs, and Volkmar Welker. “Poset fiber theorems”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 357.5 (2005), pp. 1877–1899. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03496-8.

[BWW09]

Anders Björner, Michelle Wachs, and Volkmar Welker. “On sequentially Cohen-Macaulay complexes and posets”. In: Israel J. Math. 169 (2009), pp. 295–316. arXiv: math/0702788. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-009-0012-2.

[DM]

Anton Dochtermann and Fatemeh Mohammadi. Cellular resolutions from mapping cones. arXiv: 1311.4599.

[Flø06]

Gunnar Fløystad. “Cohen-Macaulay cell complexes”. In: Algebraic and geometric combinatorics. Vol. 423. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 205–220. arXiv: math/0502541. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/423/08079.

[Flø07]

Gunnar Fløystad. “Enriched homology and cohomology modules of simplicial complexes”. In: J. Algebraic Combin. 25.3 (2007), pp. 285–307. arXiv: math/0411570. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-006-0038-z.

[HT02]

Jürgen Herzog and Yukihide Takayama. “Resolutions by mapping cones”. In: Homology Homotopy Appl. 4.2, part 2 (2002). The Roos Festschrift volume, 2, pp. 277–294. arXiv: math/0101081.

[IR07]

Bogdan Ichim and Tim Römer. “On toric face rings”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.1 (2007), pp. 249–266. arXiv: math/0605150. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.09.010.

[KW]

Martina Kubitzke and Volkmar Welker. The Multiplicity Conjecture for Barycentric Subdivisions. arXiv: math/0606274.

[MNS11]

Ezra Miller, Isabella Novik, and Ed Swartz. “Face rings of simplicial complexes with singularities”. In: Math. Ann. 351.4 (2011), pp. 857–875. arXiv: 1001.2812. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-010-0620-5.

[MS05]

Ezra Miller and Bernd Sturmfels. Combinatorial commutative algebra. Vol. 227. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2005, pp. xiv+417. isbn: 0-387-22356-8.

[NPS02]

Isabella Novik, Alexander Postnikov, and Bernd Sturmfels. “Syzygies of oriented matroids”. In: Duke Math. J. 111.2 (2002), pp. 287–317. arXiv: math/0009241. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-02-11124-7.

[NS]

Isabella Novik and Ed Swartz. Face numbers of pseudomanifolds with isolated singularities. arXiv: 1004.5100.

[Sch81]

Peter Schenzel. “On the number of faces of simplicial complexes and the purity of Frobenius”. In: Math. Z. 178.1 (1981), pp. 125–142. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01218376.

[Sta77]

Richard P. Stanley. “Cohen-Macaulay complexes”. In: Higher combinatorics (Proc. NATO Advanced Study Inst., Berlin, 1976). Dordrecht: Reidel, 1977, 51–62. NATO Adv. Study Inst. Ser., Ser. C: Math. and Phys. Sci., 31.

[Sta96]

Richard P. Stanley. Combinatorics and commutative algebra. Second. Vol. 41. Progress in Mathematics. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 1996, pp. x+164. isbn: 0-8176-3836-9.

[Stu96]

Bernd Sturmfels. Gröbner bases and convex polytopes. Vol. 8. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996, pp. xii+162. isbn: 0-8218-0487-1.

[Wac99]

Michelle L. Wachs. “Whitney homology of semipure shellable posets”. In: J. Algebraic Combin. 9.2 (1999), pp. 173–207. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1018694401498.

[Zaa]

Rashid Zaare-Nahandi. On isomorphism of simplicial complexes and their related algebras. arXiv: math/0702618.