Braid群

Braid群には様々な変種があるが, 最も古典的なbraid (組紐) 群は, よく Artin の名が冠せられる。それは, braid群の本格的な研究を始めたのが Emil Artin [Art25]だった からだろう。 ただし, Damiani が [Dam] で指摘しているように, braid群その ものは Hurwitzの論文 [Hur91]に既に登場している。 そこでは平面上の \(n\)点系の成す空間の monodromy, つまり \(\R ^2\) の \(n\)点配置空間の 基本群として定義されている。 「組み紐の成す群」として考えたのは, 恐らくArtinが最初だろう。 代数的トポロジーの視点からは, Hurwitz のように \[ \mathrm{Br}_n = \pi _1(\mathrm{Conf}_{n}(\R ^2)/\Sigma _{n}) \] と定義するのがよいだろう。

Braid群について初等的に解説した本としては, Hansen の [Han89] がある。Birman の [Bir74] が有名であるが。最近, Kassel と Turaev の 本 [KT08] が出た。Rolfsen の解説 [Rol10] は, 基本的なことも書いてあるが, 最終的にはbraid群の orderabilityを目指したもののようであ る。

• braidの基本
• braid群の群論的性質

Braid群は様々な分野と関係するが, 代数的トポロジーとの関係では, Fred Cohen の仕事 [CLM76] が出発点となっていると思う。 基本的なのは無限個の紐のなすbraid 群の 分類空間 のホモトピー論的な group completion が \(\Omega ^2S^3\) とホモトピー同値で あること \[ \Omega B\left (\coprod _{n} B\mathrm{Br}_n \right ) \simeq \Omega ^2 S^3 \] である。 関連した事実として, Richard Thompson の群 \(F\) のある 部分群 \(F'\) の分類空間 が \(\Omega S^3\) とホモロジー同値であるということ が Ghys とSergiescu [GS87] により証明されている。 その拡張として GreenbergとSergiescuの構成 [GS91]がある。彼等は, path-loop fibration \[ \Omega ^2S^3 \rarrow{} P\Omega S^3 \rarrow{} \Omega S^3 \] をホモロジーで実現する群拡大 \[ 1 \rarrow{} \mathrm{Br}_{\infty } \rarrow{} A \rarrow{} F' \rarrow{} 1 \] を構成している。 これは, こ の集会の Vershinin氏の講義で知った。

ここで球面が現れることから, braid群と 球面のホモトピー群の直接の関係 が期待されるが, それについては, Berrickと F. CohenとWongとWuによる結果[Ber+06]がある。 彼等は \(S^2\)のホモトピー群のbraid群による記述を得てい る。\(S^3\)ではなく\(S^2\)なのは, James construction \(J(S^2)\simeq \Omega S^3\)を用いているからである。 その結果も含めたbraid群の解説としてVershininの[Ver06]が ある。

Braid群はbraid arrangementの複素化の complementを対称群の作用で割った空間の基本群とみなすことができる。より 一般のreflection arrangementに対しても, braid群に対応する群が定義できる。 それらも含めた解説としてParisの[Par09]がある。 Salvetti complexについても書いてある。

Mapping class groupとも見ることができ る。その方面からの解説としては, まずはやはりBirmanの本[Bir74] を見るべきだろうか。

新しい見方としては, \(1\)個の元から成る体上の多項式環の general linear groupというものがある。 neverendingbooks のこのpostを参照のこと。

このように, braid群はホモトピー論以外にも様々な分野に登場する興味深い対 象である。最近では暗号理論でも使われている [AAG99; Ko+00]ようである。

とにかく, braid群について知っていて損はない。

• braid群の一般化や関連した群
• braid群の(局所係数)コホモロジー
• braid群に関連した話題や応用

References

[AAG99]

Iris Anshel, Michael Anshel, and Dorian Goldfeld. “An algebraic method for public-key cryptography”. In: Math. Res. Lett. 6.3-4 (1999), pp. 287–291.

[Art25]

Emil Artin. “Theorie der Zöpfe”. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4.1 (1925), pp. 47–72. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02950718.

[Ber+06]

A. J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong, and J. Wu. “Configurations, braids, and homotopy groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), pp. 265–326. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00507-2.

[Bir74]

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[CLM76]

Frederick R. Cohen, Thomas J. Lada, and J. Peter May. The homology of iterated loop spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 533. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+490.

[Dam]

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[GS87]

Étienne Ghys and Vlad Sergiescu. “Sur un groupe remarquable de difféomorphismes du cercle”. In: Comment. Math. Helv. 62.2 (1987), pp. 185–239. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02564445.

[GS91]

Peter Greenberg and Vlad Sergiescu. “An acyclic extension of the braid group”. In: Comment. Math. Helv. 66.1 (1991), pp. 109–138. url: https://doi.org/10.1007/BF02566638.

[Han89]

Vagn Lundsgaard Hansen. Braids and coverings: selected topics. Vol. 18. London Mathematical Society Student Texts. With appendices by Lars Gæde and Hugh R. Morton. Cambridge University Press, Cambridge, 1989, pp. x+191. isbn: 0-521-38479-6. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511613098.

[Hur91]

A. Hurwitz. “Ueber Riemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten”. In: Math. Ann. 39.1 (1891), pp. 1–60. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01199469.

[Ko+00]

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[KT08]

Christian Kassel and Vladimir Turaev. Braid groups. Vol. 247. Graduate Texts in Mathematics. With the graphical assistance of Olivier Dodane. New York: Springer, 2008, pp. xii+340. isbn: 978-0-387-33841-5. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-68548-9.

[Par09]

Luis Paris. “Braid groups and Artin groups”. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. II. Vol. 13. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2009, pp. 389–451. arXiv: 0711.2372. url: http://dx.doi.org/10.4171/055-1/12.

[Rol10]

Dale Rolfsen. “Tutorial on the braid groups”. In: Braids. Vol. 19. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2010, pp. 1–30. arXiv: 1010.4051.

[Ver06]

V. V. Vershinin. “Braids, their properties and generalizations”. In: Handbook of algebra. Vol. 4. Vol. 4. Handb. Algebr. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2006, pp. 427–465. arXiv: math/0611712. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(06)80011-2.