Braid群の群論的性質

Braid群 \(\mathrm{Br}_{n}\) を, 純粋に群論的に調べることも, 当然であるが, 重要である。古くは Gorin と Lin の結果がある。 彼等は, braid群の交換子群を調べた。

• \(\mathrm{Br}_n\) の commutator subgroup は, \(n=3\) のとき rank \(2\) の free group, \(n=4\) のとき2つの rank \(2\) の free group の semidirect product, \(n\ge 5\) のとき finitely generated で perfect ([GL69])
• braid 群は polyfree ([CCP07])
• \(\mathrm{Br}_n\) は, \(n\ge 3\) で bi-orderable ではない。([Neu74])
• \(\mathrm{Br}_n\) は, 全ての \(n\) について right-orderable ([Deh94])
• pure braid group \(\mathrm{PBr}_n\) は, almost-direct product of free groups ([Coh10])
• pure braid group \(\mathrm{PBr}_n\) は, bi-orderable ([RZ98])

Braid群の orderability については, Dehornoy, Dynnikov, Rolfsen, Wiestの本 [Deh+02; Deh+08] がある。

Dehornoy の [Deh94] のタイトルにある “left distributive operation” とは, 今は rack と呼ばれることが多いようである。Dehornoy は braid群と rack についての本 [Deh00] も書いている。 Dehornoy は, [Deh07] で 組み合わせ論的な視点から braid 群を考察している。Dehornoy は, それ以前に, braid 群を含む Garside group という概念について調べていた。 [Deh02] などである。 その系として, braid群の群論的性質が得られている。

• braid群は Garside group, よって biautomatic

Garside群とは, braid群の word problem について調べた [Gar69] Garside という人の名前に由来するものである。より正確には, Garside は braid の conjugacy class について調べた。Prasolov の [Pra] にあるように, その algorithm は, その後様々に改良された。 Braid群の word problem については, Dehornoy の survey がある。

• permutation braid
• Garside element
• left normal form
• super summit set
• ultra summit set

Permutation braid の定義は, 通常の generator に依るが, braid群の生成元と関係式による表示については, Birman と Ko と Lee によるもの [BKL98] もある。Super summit set や ultra summit set なども定義できる。

• BirmanとKoとLeeによる新しい生成元による表示

Birman と Ko と Lee の結果については, [BDM02] も見るとよい。

Crossed module との関係については, Huebschmann の [Hue] で調べられている。

他の曲面の braid群については, 例えば, \(S^2\) の braid 群の表示は, Fadell と van Buskirk により[FV62] で得られている。

Panaite と Staic [PS10] は, braided monoidal category に関連して pseudosymmetric group という braid群の商群を考えている。Braid群を pure braid group の交換子群で割った群である。

• pseudosymmetric group

群論的性質としては, 表現を考えないわけにはいかない。

• braid群の表現

D. Cohen と Falk と Randell [CFR] は, \(4\)次以上の pure braid group は, residually free ではないことを示している。

Braid群は無限群だから, 単なる group ring よりも完備化した \(L^2\)-space を使った方がよいかもしれない。そして, それにより braid群の元を無限和で表わそうという試み [Finb; Fina] もある。

References

[BDM02]

David Bessis, François Digne, and Jean Michel. “Springer theory in braid groups and the Birman-Ko-Lee monoid”. In: Pacific J. Math. 205.2 (2002), pp. 287–309. arXiv: math/0010254. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2002.205.287.

[BKL98]

Joan Birman, Ki Hyoung Ko, and Sang Jin Lee. “A new approach to the word and conjugacy problems in the braid groups”. In: Adv. Math. 139.2 (1998), pp. 322–353. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1761.

[CCP07]

Daniel C. Cohen, Frederick R. Cohen, and Stratos Prassidis. “Centralizers of Lie algebras associated to descending central series of certain poly-free groups”. In: J. Lie Theory 17.2 (2007), pp. 379–397. arXiv: math/0603470.

[CFR]

Daniel C. Cohen, Michael Falk, and Richard Randell. Pure braid groups are not residually free. arXiv: 1106.4602.

[Coh10]

Daniel C. Cohen. “Cohomology rings of almost-direct products of free groups”. In: Compos. Math. 146.2 (2010), pp. 465–479. arXiv: 0811.1330. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X09004424.

[Deh+02]

Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, and Bert Wiest. Why are braids orderable? Vol. 14. Panoramas et Synthèses [Panoramas and Syntheses]. Paris: Société Mathématique de France, 2002, pp. xiv+190. isbn: 2-85629-135-X.

[Deh+08]

Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, and Bert Wiest. Ordering braids. Vol. 148. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2008, pp. x+323. isbn: 978-0-8218-4431-1.

[Deh00]

Patrick Dehornoy. Braids and self-distributivity. Vol. 192. Progress in Mathematics. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000, pp. xx+623. isbn: 3-7643-6343-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-8442-6.

[Deh02]

Patrick Dehornoy. “Groupes de Garside”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 35.2 (2002), pp. 267–306. arXiv: math/0111157. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(02)01090-X.

[Deh07]

Patrick Dehornoy. “Combinatorics of normal sequences of braids”. In: J. Combin. Theory Ser. A 114.3 (2007), pp. 389–409. arXiv: math/0511114. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2006.06.004.

[Deh94]

Patrick Dehornoy. “Braid groups and left distributive operations”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 345.1 (1994), pp. 115–150. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154598.

[Fina]

Jonathan Fine. A note on braids and Parseval’s theorem. arXiv: 0911.4275.

[Finb]

Jonathan Fine. Vassiliev-Kontsevich invariants and Parseval’s theorem. arXiv: 0909.5178.

[FV62]

Edward Fadell and James Van Buskirk. “The braid groups of \(E^2\) and \(S^2\)”. In: Duke Math. J. 29 (1962), pp. 243–257.

[Gar69]

F. A. Garside. “The braid group and other groups”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 20 (1969), pp. 235–254. url: https://doi.org/10.1093/qmath/20.1.235.

[GL69]

E. A. Gorin and V. Ja. Lin. “Algebraic equations with continuous coefficients, and certain questions of the algebraic theory of braids”. In: Mat. Sb. (N.S.) 78 (120) (1969), pp. 579–610.

[Hue]

Johannes Huebschmann. Braids and crossed modules. arXiv: 0904.3895.

[Neu74]

L. P. Neuwirth. “The status of some problems related to knot groups”. In: Topology Conference (Virginia Polytech. Inst. and State Univ., Blacksburg, Va., 1973). Berlin: Springer, 1974, 209–230. Lecture Notes in Math., Vol. 375.

[Pra]

Maxim Prasolov. Small braids having a big Ultra Summit Set. arXiv: 0906.0076.

[PS10]

Florin Panaite and Mihai D. Staic. “A quotient of the braid group related to pseudosymmetric braided categories”. In: Pacific J. Math. 244.1 (2010), pp. 155–167. arXiv: 0902.0512. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2010.244.155.

[RZ98]

Dale Rolfsen and Jun Zhu. “Braids, orderings and zero divisors”. In: J. Knot Theory Ramifications 7.6 (1998), pp. 837–841. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216598000425.