Binomial Rings

Binomial ring とは, 簡単に言えば, 2項係数が定義できる可換環のことである。 正確には, \(\Z \) 上 torsion free な可換環 \(A\) で, 任意の \(a\in A\) と \(n\in \N \) に対し, \[ \frac {a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!} \] が \(A\) に存在するもののことである。

Elliott [Ell06] によると Philip Hall [Hal69] により導入されたらしい。

Wilkerson の [Wil82] や Eilliott の論文で調べられている。 そこでは, Adams operation が自明である \(\lambda \)-ring として特徴付けられている。

• \(\lambda \)-ring

Porter と Suciu [PS22] は, cup \(1\)-product を扱う枠組みとして, binomial cup-one (differential graded) algebra という構造を導入した。

• binomial cup-one differential graded algebra

Porter と Suciu [PS26] は binomial cup-one algebra は, homotopy \(1\)-type のモデルとして使えることを示している。

Binomial ring の変種を homotopy type の代数的モデルとして使うことは, 他にも様々な人により考えられている。 それについては, Kubrak らの [KSZ] の §1.2 を見るとよい。 Kubrak ら自身は, derived binomial ring の概念を導入し, それを使うことを提案している。彼等以前にも, Horel [Hor24] が, cosimplicial binomial ring が integral homotopy type の algebraic model として使えることを示している。

• cosimplicial binomial ring
• derived binomial ring

Antieau [Antb] によると, binomial ring の標数 \(p\) での類似は, \(p\)-Boolean algebra, つまり, \(\F _{p}\) 上の commutative algebra で \(x^{p}=x\) が成り立つものである。

• \(p\)-Boolean algebra

そして Antieau は, [Anta] で derived \(p\)-Boolean ring が \(p\)-adic homotopy type の代数的モデルとして使えることを示している。

References

[Anta]

Benjamin Antieau. Spherical Witt vectors and integral models for spaces. arXiv: 2308.07288.

[Antb]

Benjamin Antieau. The animation of the opposite of finite sets. arXiv: 2508.13106.

[Ell06]

Jesse Elliott. “Binomial rings, integer-valued polynomials, and \(\lambda \)-rings”. In: J. Pure Appl. Algebra 207.1 (2006), pp. 165–185. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.09.003.

[Hal69]

Philip Hall. The Edmonton notes on nilpotent groups. Queen Mary College Mathematics Notes. Queen Mary College, Mathematics Department, London, 1969, pp. iii+76.

[Hor24]

Geoffroy Horel. “Binomial rings and homotopy theory”. In: J. Reine Angew. Math. 813 (2024), pp. 283–305. arXiv: 2211.02349. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2024-0039.

[KSZ]

Dmitry Kubrak, Georgii Shuklin, and Alexander Zakharov. Derived binomial rings I: integral Betti cohomology of log schemes. arXiv: 2308.01110.

[PS22]

Richard D. Porter and Alexander I. Suciu. “Differential graded algebras, Steenrod cup-one products, binomial operations, and Massey products”. In: Topology Appl. 313 (2022), Paper No. 107987, 37. arXiv: 2105.10753. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2021.107987.

[PS26]

Richard D. Porter and Alexander I. Suciu. “Cup-one algebras and 1-minimal models”. In: Algebr. Geom. Topol. 26.1 (2026), pp. 65–134. arXiv: 2306.11849. url: https://doi.org/10.2140/agt.2026.26.65.

[Wil82]

Clarence Wilkerson. “Lambda-rings, binomial domains, and vector bundles over \(\mathbf {C}P(\infty )\)”. In: Comm. Algebra 10.3 (1982), pp. 311–328. url: https://doi.org/10.1080/00927878208822717.