凸多面体の面の成す poset の構造を抽象化した, 抽象多面体 (abstract polytope) という概念がある。
Montero [Mon21] によると, Danzer と Schulte [DS82] により導入されたもの, らしい。 ただし, face
poset が同型な凸多面体を同じと思うというアイデアは, Grünbaum の [Grü77; Grü78] で登場したもののようである。
まずは, McMullen と Schulte の本 [MS02] を見るべきだろう。 そのタイトルから分かるように, 正多面体中心であるが。
また, この本は, 写像の書き方が \(f(x)\) ではなく \(xf\) なので読み辛い。 その後の進展について, 彼等は [MS06] という survey
を書いている。
Abstract regular polytope は, その変換群の作用で特徴付けられるが, 一方, Schulte と Williams
[SW15]は, 任意の 有限群 が abstract polytope の automorphism group として実現できることを示しているので,
abstract polytope はかなり広い poset の class と言える。
Deza と Dutour Sikirić と Shpectorov の [DDS08] では, McMullen と Schulte の本の定義より,
少し弱い定義が用いられている。 問題によっては, こちらの定義の方が使い易いかもしれない。 他にも, abstract polytope
へのアプローチとしては, Elisa Fernandes と Leemans と Weiss [FLW16] による incidence geometry
に基づいた hypertope というものもある。 正多面体の拡張である regular hypertope を考えている人 [Pie]
もいる。
- Deza-Dutour Sikirić-Shpectorov の abstract polytope
- hypertope
- regular hypertope
正多面体から半正多面体を構成する方法として, Wythoff の構成という方法があるが, その abstract polytope 版もある。
McMullen と Schulte の本にも書いてあるし, Deza と Dutour Sikirić と Shpectorov の [DDS08] にも,
別の方法で書かれている。
Abstract polytope に関する open problem としては, 少し古いが, Schulte と Weiss によるリスト
[SW06] がある。 Cunningham と Pellicer [CP18] による \(k\)-orbit abstract polytope に関する 35 の
open problem のリストもある。
References
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[CP18]
-
Gabe Cunningham and Daniel Pellicer. “Open problems on \(k\)-orbit
polytopes”.
In: Discrete Math. 341.6 (2018), pp. 1645–1661. arXiv: 1608.07993.
url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2018.03.004.
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[DDS08]
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Michel Deza, Mathieu Dutour Sikirić, and Sergey Shpectorov.
“Hypercube embeddings of Wythoffians”. In: Ars Math. Contemp. 1.1
(2008), pp. 99–111. arXiv: math/0407527.
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[DS82]
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L. Danzer and E. Schulte. “Reguläre
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url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00148235.
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[FLW16]
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Maria Elisa Fernandes, Dimitri
Leemans, and Asia Ivić Weiss. “Highly symmetric hypertopes”. In:
Aequationes Math. 90.5 (2016), pp. 1045–1067. arXiv: 1604.03162.
url: https://doi.org/10.1007/s00010-016-0431-1.
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[Grü77]
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Branko Grünbaum.
“Regular polyhedra—old and new”. In: Aequationes Math. 16 (1977),
pp. 1–20. url: https://doi.org/10.1007/BF01836414.
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[Grü78]
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Branko Grünbaum. “Regularity of graphs, complexes and designs”.
In: Problèmes combinatoires et théorie des graphes (Colloq. Internat.
CNRS, Univ. Orsay, Orsay, 1976). Vol. 260. Colloq. Internat.
CNRS. CNRS, Paris, 1978, pp. 191–197.
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[Mon21]
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Antonio Montero. “On
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https://doi.org/10.1016/j.disc.2021.112507.
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[MS02]
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Peter
McMullen and Egon Schulte. Abstract regular polytopes. Vol. 92.
Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge:
Cambridge University Press, 2002, pp. xiv+551. isbn: 0-521-81496-0.
url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546686.
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[MS06]
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Peter McMullen and Egon Schulte. “Regular and chiral polytopes
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Math. Soc., 2006, pp. 87–106. arXiv: math/0503389.
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[Pie]
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Claudio Alexandre Piedade. Infinite families of hypertopes from
centrally symmetric polytopes. arXiv: 2103.17170.
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[SW06]
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Egon Schulte and Asia Ivić Weiss.
“Problems on polytopes, their groups, and realizations”. In: Period.
Math. Hungar. 53.1-2 (2006), pp. 231–255. arXiv: math/0608397.
url: http://dx.doi.org/10.1007/s10998-006-0035-y.
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[SW15]
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Egon Schulte and Gordon Ian Williams. “Polytopes with preassigned
automorphism groups”. In: Discrete
Comput. Geom. 54.2 (2015), pp. 444–458. arXiv: 1505.06253. url:
https://doi.org/10.1007/s00454-015-9710-1.
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