Abstract Polytope

凸多面体の面の成す poset の構造を抽象化した, 抽象多面体 (abstract polytope) という概念がある。

Montero [Mon21] によると, Danzer と Schulte [DS82] により導入されたもの, らしい。

まずは, McMullen と Schulte の本 [MS02] を見るべきだろう。 そのタイトルから分かるように, 正多面体中心であるが。 また, この本は, 写像の書き方が \(f(x)\) ではなく \(xf\) なので読み辛い。 その後の進展について, 彼等は [MS06] という survey を書いている。

  • abstract regular polytope

McMullen と Schulte の本では, abstract regular polytope が, 変換群が string C-group になる, ということで特徴付けられることが示されている。

  • string C-group

Monson と Schulte は, 一連の研究 [MS04; MS07; MS08] で, crystallographic Coxeter group を mod \(p\) reduction してできる群を調べ, abstract regular polytope の変換群になっていることが多いことを確かめている。

一方, Schulte と Williams [SW15]は, 任意の 有限群 が abstract polytope の automorphism group として実現できることを示しているので, abstract polytope はかなり広い poset の class と言える。

Deza と Dutour Sikirić と Shpectorov の [DDS08] では, McMullen と Schulte の本の定義より, 少し弱い定義が用いられている。 問題によっては, こちらの定義の方が使い易いかもしれない。

  • Deza-Dutour Sikirić-Shpectorov の abstract polytope

正多面体より少し広い多面体のクラスとして, 半正多面体があるが, その abstract 版もある。

  • abstract semiregular polytope

Monson と Schulte の [MS12] では, Martini の [Mar94] が参照されている。 また, Pisanski, Schulte, Weiss の論文 [PSW12] によると, 凸多面体の場合と異なる, abstract semiregular polytope は, とても多くの種類があるようである。

正多面体から半正多面体を構成する方法として, Wythoff の構成という方法があるが, その abstract polytope 版もある。 McMullen と Schulte の本にも書いてあるし, Deza と Dutour Sikirić と Shpectorov の [DDS08] にも, 別の方法で書かれている。

他には, 次のような abstract polytope の class がある。

  • abstract uniform polytope
  • abstract chiral polytope
  • hypertope [FLW16]

Abstract polytope に関する open problem としては, 少し古いが, Schulte と Weiss によるリスト [SW06] がある。 Cunningham と Pellicer [CP18] による \(k\)-orbit abstract polytope に関する 35 の open problem のリストもある。

References

[CP18]

Gabe Cunningham and Daniel Pellicer. “Open problems on \(k\)-orbit polytopes”. In: Discrete Math. 341.6 (2018), pp. 1645–1661. arXiv: 1608.07993. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2018.03.004.

[DDS08]

Michel Deza, Mathieu Dutour Sikirić, and Sergey Shpectorov. “Hypercube embeddings of Wythoffians”. In: Ars Math. Contemp. 1.1 (2008), pp. 99–111. arXiv: math/0407527.

[DS82]

L. Danzer and E. Schulte. “Reguläre Inzidenzkomplexe. I”. In: Geom. Dedicata 13.3 (1982), pp. 295–308. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00148235.

[FLW16]

Maria Elisa Fernandes, Dimitri Leemans, and Asia Ivić Weiss. “Highly symmetric hypertopes”. In: Aequationes Math. 90.5 (2016), pp. 1045–1067. arXiv: 1604.03162. url: https://doi.org/10.1007/s00010-016-0431-1.

[Mar94]

Horst Martini. “A hierarchical classification of Euclidean polytopes with regularity properties”. In: Polytopes: abstract, convex and computational (Scarborough, ON, 1993). Vol. 440. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1994, pp. 71–96.

[Mon21]

Antonio Montero. “On the Schläfli symbol of chiral extensions of polytopes”. In: Discrete Math. 344.11 (2021), Paper No. 112507, 16. arXiv: 2003.02933. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2021.112507.

[MS02]

Peter McMullen and Egon Schulte. Abstract regular polytopes. Vol. 92. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2002, pp. xiv+551. isbn: 0-521-81496-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546686.

[MS04]

B. Monson and Egon Schulte. “Reflection groups and polytopes over finite fields. I”. In: Adv. in Appl. Math. 33.2 (2004), pp. 290–317. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2003.11.002.

[MS06]

Peter McMullen and Egon Schulte. “Regular and chiral polytopes in low dimensions”. In: The Coxeter legacy. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 87–106. arXiv: math/0503389.

[MS07]

B. Monson and Egon Schulte. “Reflection groups and polytopes over finite fields. II”. In: Adv. in Appl. Math. 38.3 (2007), pp. 327–356. arXiv: math/0601502. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2005.12.001.

[MS08]

B. Monson and Egon Schulte. “Reflection groups and polytopes over finite fields. III”. In: Adv. in Appl. Math. 41.1 (2008), pp. 76–94. arXiv: 0707.4007. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2007.07.001.

[MS12]

B. Monson and Egon Schulte. “Semiregular polytopes and amalgamated C-groups”. In: Adv. Math. 229.5 (2012), pp. 2767–2791. arXiv: 1109.1337. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.027.

[PSW12]

Tomaž Pisanski, Egon Schulte, and Asia Ivić Weiss. “On the size of equifacetted semi-regular polytopes”. In: Glas. Mat. Ser. III 47(67).2 (2012), pp. 421–430. arXiv: 1109.2280. url: https://doi.org/10.3336/gm.47.2.15.

[SW06]

Egon Schulte and Asia Ivić Weiss. “Problems on polytopes, their groups, and realizations”. In: Period. Math. Hungar. 53.1-2 (2006), pp. 231–255. arXiv: math/0608397. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10998-006-0035-y.

[SW15]

Egon Schulte and Gordon Ian Williams. “Polytopes with preassigned automorphism groups”. In: Discrete Comput. Geom. 54.2 (2015), pp. 444–458. arXiv: 1505.06253. url: https://doi.org/10.1007/s00454-015-9710-1.