特異コホモロジーにおける作用素

コホモロジー作用素の基本は, 特異コホモロジーでの作用素, 特に Steenrod作用素である。ただし, Steenrod作用素の構成には対称群のコホモロジーが必要になり結構面倒なので, まずはこれらの作用素の性質を公理として学ぶべきだろう。

  • \(i\ge 0\) に対し \[ \Sq ^i : H^{n}(X;\Z /2\Z ) \longrightarrow H^{n+i}(X;\Z /2\Z ) \] の定義。
  • 奇素数 \(p\)と\(i\ge 0\) に対し \[ P^i : H^{n}(X;\Z /p\Z ) \longrightarrow H^{n+2i(p-1)}(X;\Z /p\Z ) \] の定義。
  • \(\Sq ^1\) は次の短完全列 \[ 0 \longrightarrow \Z /2\Z \longrightarrow \Z /4\Z \longrightarrow \Z /2\Z \longrightarrow 0 \] のBockstein作用素と一致する。
  • unstablity
  • Cartan formula
  • Adem relation

この中で, Adem relation は他の性質から証明できる。 射影空間のコホモロジーへの作用が分れば, 後は 組合せ論の問題だからである。 組合せ論的証明としては, Bullett と Macdonald の証明 [BM82] がある。Bisson と Tsemo [BT08] では, この Bullett と Macdonald の論文と共に, 1977年の Bisson の thesis [Bis77] も参照されている。

これらの作用素の成す代数を Steenrod algebra という。

  • Steenrod algebra

これらの性質を持つ作用素が存在することの証明, つまり構成にはいくつかの方法がある。 古典的には\(p\)次 対称群の (局所係数の) コホモロジーを調べることにより定義できる。それについては, Steenrod と Epstein の [Ste62] と May の [May70] を読むとよいだろう。

May は, [May70] の中で 多重ループ空間のホモロジー 作用素 と統一して扱う試みをしている。その中で, universal Steenrod algebra ともいうべき代数が定義されている。 Lomonaco ら [Lom90; CL04; BCL05; BCL10; BC17] により調べられている。

  • universal Steenrod algebra

多重ループ空間と共通の枠組みで扱えるということは, operad が関係しているということである。 実際, Steenrod operation の存在は singular cochain algebra \(\mathrm {Hom}(S_*(X),\F _{p})\) が高次 homotopy 可換性を持つ, つまり \(E_{\infty }\)-algebra の構造を持つことに起因している。

そのような, \(E_{\infty }\)-operad の構成には様々なものがある。 最も古いのは, Barratt と Eccles の [BE74] だろうか, その後 Hinich と Schechtman の [HS87], や Justin Smith の [Smi94] などの構成が得られている。 最近でも, Sánchez Guevara [San] によるものがある。

\(E_{\infty }\)-algebra の構造から, その cohomology 上に Steerod operation が構成されることについては, Kriz と May の [KM95], Chataur と Livernet の [CL05], Mandell の [Man06] などを見るとよい。

他には, 群のコホモロジーに対し純粋に代数的に定義されるもの [Ben98] もある。 Kan-Thurston の定理 [KT76] より, 任意の位相空間のコホモロジーは, 群のコホモロジーとして実現できるから, これでも Steenrod作用素の構成になっている。

また, R.M.W. Wood による多項式環上の微分作用素を用いた扱い [Woo97] もある。

Steenrod作用素の作用を調べると, CW複体の胞体がどのような写像で張りついているか, わかる場合がある。例えば以下のような場合である。

  • \(X\)が\(n\)次元と\((n-1)\)次元に胞体を持つ\(2\)-cell complexで, \(\mod 2\) cohomologyで\(\Sq ^1x_{n-1}=x_n\)であるなら \[ X_{(2)} \simeq S^{n-1}\cup _2 CS^{n-1} \]
  • \(X\)が\(n\)次元と\((n-2)\)次元に胞体を持つ\(2\)-cell complexで, \(\mod 2\) cohomologyで\(\Sq ^2x_{n-2}=x_n\)であるなら \[ X_{(2)} \simeq S^{n-2}\cup _{\eta _{n-1}} CS^{n-1} \]
  • \(X\)が\(n\)次元と\((n-4)\)次元に胞体を持つ\(2\)-cell complexで, \(\mod 2\) cohomologyで\(\Sq ^4x_{n-4}=x_n\)であるなら \[ X_{(2)} \simeq S^{n-4}\cup _{\nu _{n-1}} CS^{n-1} \]
  • \(X\)が\(n\)次元と\((n-8)\)次元に胞体を持つ\(2\)-cell complexで, \(\mod 2\) cohomologyで\(\Sq ^8x_{n-8}=x_n\)であるなら \[ X_{(2)} \simeq S^{n-8}\cup _{\sigma _{n-1}} CS^{n-1} \]
  • \(p\)を奇素数とする。\(X\)が\(n\)次元と\((n-2p+2)\)次元に胞体を持つ \(2\)-cell complexで, \(\mod p\) cohomologyで\(P^1x_{n-2p+2}=x_n\)であるなら \[ X_{(p)} \simeq S^{n-2p+2}\cup _{\alpha _1} CS^{n-1} \]
  • \(p\)を奇素数とする。\(X\)が\(n\), \(n-1\), \(n-2p+1\), \(n-2p\)次元に一つづ つ胞体を持つCW complexで, \(\mod p\) cohomologyで

    \begin {eqnarray*} \beta x_{n-2p} & = & x_{n-2p+1} \\ P^1x_{n-2p+1} & = & x_{n-1} \\ \beta x_{n-1} & = & x_n \end {eqnarray*}

    であるなら \[ X_{(p)} \simeq P^{n-2p+1}(p)\cup _{v_1} CP^{n-1}(p) \] ただし, \(P^{n-1}(p)\) は \((n-1)\)次元の \(\mod p\) Moore spaceである。

もちろん, Steenrod operation だけで全ての胞体の接着写像が detect できるわけではない。一般には, secondary あるいはより高次の operationを使わないといけない。例えば, 奇素数では \(\beta _1\) がそうである。

Grassmann多様体の コホモロジー上のSteenrod作用素の作用は, 組み合せ論的な方法で表わされる。 [Len98]

Steenrodの平方作用素 (\(\Sq ^i\)) は, 最初 cup-\(i\) product の特別な場合として定義された。現在では, cup-\(i\) product が使われることはあまりないが, Steenrod のアイデアの起源を知る上で一度は勉強しておいても損はないだろう。

  • cup-\(i\) product の定義と基本的な性質

Steenrod の論文 [Ste47] は昔の言葉で書いてあるので, ちょっと読みづらい。Dieudonné の本 [Die09] を読むとよいだろう。

Equivariant ordinary cohomology に対する Steenrod algebra の類似も考えられている。例えば 群が位数 \(2\) の巡回群 \(C_{2}\) の場合は, Hu と Krizの [HK01] の §6 に書かれている。それによると, 最初に調べられたのは Greenlees の thesis らしいが。 奇素数 \(p\) に対する \(C_{p}\)-equivariant Steenrod algebra については, Sankar と Wilson の [SW] で調べられている。Dual Steenrod algebra であるが。Hu, Kriz, Somberg, Zou [Hu+] により, 奇素数の場合も完全に計算されたようである。

  • \(C_{p}\)-equivariant Steenrod algebra

Ricka [Ric15] は Adams と Margolis の結果 [AM74] の類似を考えている。

Motivic homotopy theory の文脈でも考えられている。

  • motivic Steenrod algebra

References

[AM74]

J. F. Adams and H. R. Margolis. “Sub-Hopf-algebras of the Steenrod algebra”. In: Proc. Cambridge Philos. Soc. 76 (1974), pp. 45–52. url: https://doi.org/10.1017/s0305004100048714.

[BC17]

Maurizio Brunetti and Adriana Ciampella. “Searching for Fractal Structures in the Universal Steenrod Algebra at Odd Primes”. In: Mediterr. J. Math. 14.5 (2017), 14:188. arXiv: 1704.03161. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00009-017-0986-7.

[BCL05]

Maurizio Brunetti, Adriana Ciampella, and Luciano A. Lomonaco. “The cohomology of the universal Steenrod algebra”. In: Manuscripta Math. 118.3 (2005), pp. 271–282. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00229-005-0569-y.

[BCL10]

Maurizio Brunetti, Adriana Ciampella, and Luciano A. Lomonaco. “Homology and cohomology operations in terms of differential operators”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 42.1 (2010), pp. 53–63. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdp097.

[BE74]

M. G. Barratt and Peter J. Eccles. “\(\Gamma ^{+}\)-structures. I. A free group functor for stable homotopy theory”. In: Topology 13 (1974), pp. 25–45. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90036-6.

[Ben98]

D. J. Benson. Representations and cohomology. II. Second. Vol. 31. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cohomology of groups and modules. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, pp. xii+279. isbn: 0-521-63652-3.

[Bis77]

Terrence Paul Bisson. DIVIDED SEQUENCES AND BIALGEBRAS OF HOMOLOGY OPERATIONS. Thesis (Ph.D.)–Duke University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1977, p. 127.

[BM82]

S. R. Bullett and I. G. Macdonald. “On the Adem relations”. In: Topology 21.3 (1982), pp. 329–332. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(82)90015-5.

[BT08]

Terrence Bisson and Aristide Tsemo. “Extended powers and Steenrod operations in algebraic geometry”. In: Homology Homotopy Appl. 10.3 (2008), pp. 85–100. arXiv: 0708 . 0571. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832468.

[CL04]

A. Ciampella and L. A. Lomonaco. “The universal Steenrod algebra at odd primes”. In: Comm. Algebra 32.7 (2004), pp. 2589–2607. url: http://dx.doi.org/10.1081/AGB-120037401.

[CL05]

David Chataur and Muriel Livernet. “Adem-Cartan operads”. In: Comm. Algebra 33.11 (2005), pp. 4337–4360. arXiv: math/0209363. url: https://doi.org/10.1080/00927870500243205.

[Die09]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology 1900–1960. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1989 edition [MR0995842]. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2009, pp. xxii+648. isbn: 978-0-8176-4906-7. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4907-4.

[HK01]

Po Hu and Igor Kriz. “Real-oriented homotopy theory and an analogue of the Adams-Novikov spectral sequence”. In: Topology 40.2 (2001), pp. 317–399. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00065-8.

[HS87]

V. A. Hinich and V. V. Schechtman. “On homotopy limit of homotopy algebras”. In: \(K\)-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986). Vol. 1289. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 240–264. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078370.

[Hu+]

Po Hu, Igor Kriz, Petr Somberg, and Foling Zou. The \(\mathbb {Z}/p\)-equivariant dual Steenrod algebra for an odd prime \(p\). arXiv: 2205.13427.

[KM95]

Igor Křı́ž and J. P. May. “Operads, algebras, modules and motives”. In: Astérisque 233 (1995), iv+145pp.

[KT76]

D. M. Kan and W. P. Thurston. “Every connected space has the homology of a \(K(\pi ,1)\)”. In: Topology 15.3 (1976), pp. 253–258.

[Len98]

Cristian Lenart. “The combinatorics of Steenrod operations on the cohomology of Grassmannians”. In: Adv. Math. 136.2 (1998), pp. 251–283. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1731.

[Lom90]

Luciano Lomonaco. “Dickson invariants and the universal Steenrod algebra”. In: Rend. Circ. Mat. Palermo (2) Suppl. 24 (1990). Fourth Conference on Topology (Italian) (Sorrento, 1988), pp. 429–443.

[Man06]

Michael A. Mandell. “Cochains and homotopy type”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 103 (2006), pp. 213–246. arXiv: math/ 0311016. url: https://doi.org/10.1007/s10240-006-0037-6.

[May70]

J. Peter May. “A general algebraic approach to Steenrod operations”. In: The Steenrod Algebra and its Applications (Proc. Conf. to Celebrate N. E. Steenrod’s Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970). Lecture Notes in Mathematics, Vol. 168. Berlin: Springer, 1970, pp. 153–231.

[Ric15]

Nicolas Ricka. “Subalgebras of the \(\Z /2\)-equivariant Steenrod algebra”. In: Homology Homotopy Appl. 17.1 (2015), pp. 281–305. arXiv: 1404. 6886. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2015.v17.n1.a14.

[San]

Jesus Sanchez-Guevara. \(E_{\infty }\) coalgebra structure on chain complexes with coefficients in \(\mathbb {Z}\). arXiv: 2004.06652.

[Smi94]

Justin R. Smith. “Iterating the cobar construction”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 109.524 (1994), pp. viii+141. url: https://doi.org/10.1090/memo/0524.

[Ste47]

N. E. Steenrod. “Products of cocycles and extensions of mappings”. In: Ann. of Math. (2) 48 (1947), pp. 290–320. url: https://doi.org/10.2307/1969172.

[Ste62]

N. E. Steenrod. Cohomology operations. Lectures by N. E. Steenrod written and revised by D. B. A. Epstein. Annals of Mathematics Studies, No. 50. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1962, pp. vii+139.

[SW]

Krishanu Sankar and Dylan Wilson. On the \(C_p\)-equivariant dual Steenrod algebra. arXiv: 2103.16006.

[Woo97]

R. M. W. Wood. “Differential operators and the Steenrod algebra”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 75.1 (1997), pp. 194–220. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611597000324.