Salvetti Complex

Salvetti complex は, real hyperplane arrangement の複素化の complement のモデルとして, Mario Salvetti により [Sal87] で導入された CW あるいは単体的複体である。

Salvetti complex には, もともとの Salvetti によるものの他にも, いくつかの構成 (記述) や一般化が知られている。

• Gel\('\)fand と Rybnikov による oriented matroid の Salvetti complex [GR89]
• Björner-Ziegler による oriented matroid の Salvetti complex [BZ92]
• Paris による Salvetti complex の普遍被覆の構成と, その商空間としての Salvetti complex の構成 [Par93b]
• Delucchi による face lattice からの functor の Grothendieck construction, あるいは homotopy colimitとしての記述 [Del]

Salvetti complex の構造が oriented matroid の情報から定まっていることを最初に気がついたのが誰だかよくわからないが, Ziegler が1987年に MIT で Ph.D. thesis を書いたときには, 既に知っていたかもしれない。 簡潔にまとめてあるのは Arvola の [Arv91] である。Arvola の論文の目的は, Salvetti complex と Orlik complex [Orl92] の間の explicit な homotopy 同値を作ることであった。

Delucchi の [Del] の目的は, Salvetti complexのcovering space のモデルを構成することである。その特別な場合として, Salvetti complex の homotopy colimit としての記述を得ている。

• Delucchi による Salvetti complex の被覆空間のモデル

Delucchi の構成の元になっているのが, Paris が [Par93b; Par93a] で考えた oriented system である。

• oriented system

Poset の order complex のホモトピー論的性質については, Welker と Ziegler と Živaljević の [WZŽ99] を参考にしているようであるが。

Salvetti complex は, real arrangement の複素化の complement のモデルであるが, \(\bbC \) の代わりにより高次元のベクトル空間を tensor することでできる subspace arrangement のモデルも考えられている。Björner と Ziegler の [BZ92] の最後に簡単に触れられているが, De Concini と Salvetti の [DS00] に詳しく書かれている。

• 高次の oriented matroid を用いた高次の Salvetti complex の構成

Braid arrangement の場合は, Blagojević と Ziegler の [BZ] に詳しく書かれている。

Toric arrangement での類似を考えているのは, Moci と Settepanella [MS] や d’Antonio と Delucchi の [dD12] である。

• toric arrangement の Salvetti complex

Smooth manifold \(M\) のcodimension \(1\) submanifold の arrangement \(\{H_1,\ldots ,H_n\}\) に対し, その tangent bundle を複素化の類似と考え, \(TM\) の中の \(\bigcup _{i=1}^n TH_i\) の complement に対する Salvetti complex の類似を定義しているのは, Deshpande の [Des] である。

Deshpande [Des16] は, pseudohyperplane arrangement に対する Salvetti complex の類似も考えている。

このように, Salvetti complex の構成や, それが complement の deformation retract になっていることは, ずっと一般的な設定で行なうことができる。 そのような設定として, [Tam18] で cellular stratified space の概念を導入し, Salvetti complex の構成の本質的な部分を書いた。

Salvetti complex の名前が付いているものとしては, 他には right-angled Artin group に対する Salvetti complex がある。 Charney と Davis [CD95] により \(K(\pi ,1)\) であることが示 されている。

References

[Arv91]

William A. Arvola. “Complexified real arrangements of hyperplanes”. In: Manuscripta Math. 71.3 (1991), pp. 295–306. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02568407.

[BZ]

Pavle V. M. Blagojević and Günter M. Ziegler. Convex Equipartitions via Equivariant Obstruction Theory. arXiv: 1202.5504.

[BZ92]

Anders Björner and Günter M. Ziegler. “Combinatorial stratification of complex arrangements”. In: J. Amer. Math. Soc. 5.1 (1992), pp. 105–149. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152753.

[CD95]

Ruth M. Charney and Michael W. Davis. “Strict hyperbolization”. In: Topology 34.2 (1995), pp. 329–350. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(94)00027-I.

[dD12]

Giacomo d’Antonio and Emanuele Delucchi. “A Salvetti complex for toric arrangements and its fundamental group”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 15 (2012), pp. 3535–3566. arXiv: 1101.4111. url: http://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnr161.

[Del]

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[Des]

Priyavrat Deshpande. Arrangements of Submanifolds and the Tangent Bundle Complement. arXiv: 1110.1520.

[Des16]

Priyavrat Deshpande. “On arrangements of pseudohyperplanes”. In: Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 126.3 (2016), pp. 399–420. arXiv: 1201.1306. url: https://doi.org/10.1007/s12044-016-0286-3.

[DS00]

C. De Concini and M. Salvetti. “Cohomology of Coxeter groups and Artin groups”. In: Math. Res. Lett. 7.2-3 (2000), pp. 213–232.

[GR89]

I. M. Gel\('\)fand and G. L. Rybnikov. “Algebraic and topological invariants of oriented matroids”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 307.4 (1989), pp. 791–795.

[MS]

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[Orl92]

Peter Orlik. “Complements of subspace arrangements”. In: J. Algebraic Geom. 1.1 (1992), pp. 147–156.

[Par93a]

Luis Paris. “The covers of a complexified real arrangement of hyperplanes and their fundamental groups”. In: Topology Appl. 53.1 (1993), pp. 75–103. url: http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(93)90101-I.

[Par93b]

Luis Paris. “Universal cover of Salvetti’s complex and topology of simplicial arrangements of hyperplanes”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 340.1 (1993), pp. 149–178. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154550.

[Sal87]

M. Salvetti. “Topology of the complement of real hyperplanes in \(\mathbf {C}^{N}\)”. In: Invent. Math. 88.3 (1987), pp. 603–618. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01391833.

[Tam18]

Dai Tamaki. “Cellular stratified spaces”. In: Combinatorial and toric homotopy. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 305–435. arXiv: 1609.04500.

[WZŽ99]

Volkmar Welker, Günter M. Ziegler, and Rade T. Živaljević. “Homotopy colimits—comparison lemmas for combinatorial applications”. In: J. Reine Angew. Math. 509 (1999), pp. 117–149. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1999.035.