Poincare-Birkoff-Witt theorem

Lie algebra に関する重要な定理として, Poincaré-Birkoff-Witt の定理がある。これについては, Bergman の [Ber78] を見るとよい。より一般的な, free associative algebra での cancellation に関する命題 “Diamond Lemma” の応用として述べてある。 次数付きでない場合しか扱っていないし, restricted Lie algebra の場合は Exercise になっているが, 次数付きの場合と restricted Lie algebra の場合を自分で考えるのはよい練習問題である。 それが面倒な人は, May と Ponto の [MP12] の Chapter 22 と 23 を見るとよい。

• Lie algebra に対する Poincaré-Birkoff-Witt の定理
• graded Lie algebra に対する Poincaré-Birkoff-Witt の定理
• restricted Lie algebra に対する Poincaré-Birkoff-Witt の定理

Poincaré-Birkoff-Witt の定理と関連した Poincaré の仕事について, [TT99] に歴史的な考察がある。それによると, 一般の理解より Poincaré の役割は大きかったようである。

拡張や類似の定理は様々な代数的構造に対して証明されている。 そこで使われているテクニックなどについては, Shepler と Witherspoon の [SW15] にまとめられている。

まず, Lie algebraの 一般化として考えるべきなのは, quantum group だろう。これについては, 以下のような試みがある。

• \(q\)-deformed universal enveloping algebra に対する Poincaré-Birkhoff-Witt (Rosso の [Ros89], Yamane の [Yam89], Lusztig の [Lus90], R. Berger の [Ber92] など)

より一般の Hopf algebra に対しても, 色々調べられている。Helbig の [Hel] によると, pointed Hopf algebra に対しては, Kharchenko の [Kha99] がある。 Ion の [Ion] は central Hopf algebra coradical を持つ Hopf algebra に対する Poincaré-Birkhoff-Witt を得ている。Loday と Ronco [LR06] は cofree Hopf algebra への Poincaré-Birkoff-Witt と Milnor-Moore の定理の拡張を得ている。

Operad を用いた “generalized bialgebra” に対する formulation もある。Loday の [Lod08] や Leroux の [Ler] など。Braided bialgebra については, Ardizzoni の [Ard11; Ard12] がある。

Lie algebroid の inclusion に関する relative Poincaré-Birkoff-Witt とも言えるものを考えているのは, Calaque の [Cal] である。

References

[Ard11]

Alessandro Ardizzoni. “A Milnor-Moore type theorem for primitively generated braided bialgebras”. In: J. Algebra 327 (2011), pp. 337–365. arXiv: 1003.1085. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.07.031.

[Ard12]

Alessandro Ardizzoni. “Universal enveloping algebras of PBW type”. In: Glasg. Math. J. 54.1 (2012), pp. 9–26. arXiv: 1008.4523. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0017089511000310.

[Ber78]

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[Ber92]

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