Hochschild cochain に関する Deligne 予想

Gerstenhaber [Ger63] は, associative algebra の Hochchild cohomology は, Gerstenhaber algebra と呼ばれる構造を持つことを示した。その構造を誘導する cochain level の構造があるはずであるが, それが little disk operad の singular chain complex の作用として表わされるというのが Deligne の予想だった。Vallette の [Val08] によると, 1993年の Stasheff, Gerstenhaber, May, Schechtman, Drinfel\('\)d への手紙の中に書かれていたようである。

Deligne 予想は, 今では数多くの証明が知られている。Kaufmann と Schwell の [KS10] によると以下のものがある:

• Kontsevich [Kon99]
• Tamarkin [Tam; Tam03]
• A. Voronov [Vor00]
• McClure と J. Smith [MS02; MS03]
• Kontsevich と Soibelman [KS00]
• Berger と Fresse [BF02]
• Kaufmann [Kau07]

Shoikhet の [Sho16] によると, Tamarkin の thesis [Tam] での Kontsevich formality theorem の証明に使われたことにより, 様々な人が Deligne 予想の証明を考えるようになったようである。

また様々な一般化の試みもある。

Kontsevich [Kon99] は, Deligne予想の高次元版について議論しているが, そこで“Claim 1”として書かれていることは, 誰もが思うような高次元の little cubes operad を用いた高次元化とは異なり, Voronov の Swiss cheese operad [Vor99] を用いたものである。これについては, 通常の Deligne予想の拡張の場合が Dolgushev と Tamarkin と Tsygan [DTT11] により示されている。 高次元の場合は, J.D. Thomas [Tho] により証明されたようである。

ストレートな一般化 (高次元化) は, Hu と Kriz と Voronov という三人組 [HKV06] により解決された。 Hu と Kriz と Voronov の論文の中では, little \((k+\ell )\)-cubes operad の little \(k\)-cubes operad と \(\ell \)-cubes operad への分解が使われている。 これは, Dunn によって証明された [Dun88] ものである。

Bialgebra 版は Ginot と Yalin [GY] により考えられている。

別の一般化としては, category theory の視点から little \(2\)-cubes operad が作用する chain complex をより一般的な object にする方向もある。Kock と Toën が [KT05] で monoidal model category を用いて考えている formulation は興味深いが, 元の Deligne conjecture を含むものではない。Vallette が [Val08] で \(2\)-fold monoidal category を用いて考えている方法の方がよいかもしれない。 その方向では, Shoikhet [Sho16] が \(n\)-fold monoidal Abelian category に対する Deligne予想の類似を証明している。

• \(n\)-fold monoidal Abelian category に対する Deligne予想

ただし, そこで \(n\)-fold monoidal category から得られるのは, homotopy Gerstenhaber operad 上の algebra ではなく, Leinster \((n+1)\)-algebra という構造であるが。

Lurie [Lur] は, little cubes operad の \(\infty \)-category 版を定義し, それに対する Deligne予想を証明している。

Kaufmann と Schwell の [KS10] は, \(A_{\infty }\)-algebra の場合を扱っている。

単位元を持つ associative algebra の Hochschild cochain には, サボテン operad の singular chain complex が作用することが知られている [Kau08; MS04] が, それを Sullivan chord diagram の作用に拡張したのが [TZ06] である。

Salvatore [Sal09] によると, Frobenius algebra の Hochschild complex に framed \(2\)-disk operad が作用するとい う statement を cyclic Deligne conjecture と呼ぶらしい。Kaufmann [Kau08] や Tradler と Zeinelian [TZ06] により証明された。

• cyclic Deligne conjecture

これは, genus \(0\) の Riemann面の moduli space の Hochschild complex への作用とみなすことができるので, それを高次の Riemann面に拡張しようというのは自然なアイデアである。実際, Costello [Cos07] により, そのよう な一般化が得られている。そこでは Frobenius algebra も \(A_{\infty }\)-category に一般化されている。

また, より一般に cyclic operad, そして topological cyclic operad に関する同様の予想が考えられる。 topological cyclic operad の場合が Salvatore の [Sal09] である。

Hochschild homology と cohomology の pair には, de Rham complex と polyvector field の関係を一般化する構造があることが知られているが, その構造は \(\mathcal {C}alc\) operad という operad を用いると記述できる。 Kontsevich と Soibelman [KS09] は, homology が \(\mathcal {C}alc\) operad になる topological operad を構成したが, それに対する Deligne conjecture の一般化が Horel [Hor17] により得られている。

References

[BF02]

Clemens Berger and Benoit Fresse. “Une décomposition prismatique de l’opérade de Barratt-Eccles”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 335.4 (2002), pp. 365–370. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1631-073X(02)02489-5.

[Cos07]

Kevin Costello. “Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories”. In: Adv. Math. 210.1 (2007), pp. 165–214. arXiv: math/0412149. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.06.004.

[DTT11]

V. A. Dolgushev, D. E. Tamarkin, and B. L. Tsygan. “Proof of Swiss cheese version of Deligne’s conjecture”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 20 (2011), pp. 4666–4746. arXiv: 0904.2753. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnq265.

[Dun88]

Gerald Dunn. “Tensor product of operads and iterated loop spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 50.3 (1988), pp. 237–258. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(88)90103-X.

[Ger63]

Murray Gerstenhaber. “The cohomology structure of an associative ring”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 267–288. url: https://doi.org/10.2307/1970343.

[GY]

Gregory Ginot and Sinan Yalin. Deformation theory of bialgebras, higher Hochschild cohomology and formality. arXiv: 1606.01504.

[HKV06]

Po Hu, Igor Kriz, and Alexander A. Voronov. “On Kontsevich’s Hochschild cohomology conjecture”. In: Compos. Math. 142.1 (2006), pp. 143–168. arXiv: math/0309369. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X05001521.

[Hor17]

Geoffroy Horel. “Factorization homology and calculus à la Kontsevich Soibelman”. In: J. Noncommut. Geom. 11.2 (2017), pp. 703–740. arXiv: 1307.0322. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/11-2-8.

[Kau07]

Ralph M. Kaufmann. “On spineless cacti, Deligne’s conjecture and Connes-Kreimer’s Hopf algebra”. In: Topology 46.1 (2007), pp. 39–88. arXiv: math/0308005. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2006.10.002.

[Kau08]

Ralph M. Kaufmann. “A proof of a cyclic version of Deligne’s conjecture via cacti”. In: Math. Res. Lett. 15.5 (2008), pp. 901–921. arXiv: math/0403340.

[Kon99]

Maxim Kontsevich. “Operads and motives in deformation quantization”. In: Lett. Math. Phys. 48.1 (1999). Moshé Flato (1937–1998), pp. 35–72. arXiv: math/9904055. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007555725247.

[KS00]

Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. “Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture”. In: Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon). Vol. 21. Math. Phys. Stud. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000, pp. 255–307. arXiv: math/0001151.

[KS09]

M. Kontsevich and Y. Soibelman. “Notes on \(A_{\infty }\)-algebras, \(A_{\infty }\)-categories and non-commutative geometry”. In: Homological mirror symmetry. Vol. 757. Lecture Notes in Phys. Berlin: Springer, 2009, pp. 153–219. arXiv: math/0606241.

[KS10]

Ralph M. Kaufmann and R. Schwell. “Associahedra, cyclohedra and a topological solution to the \(A_{\infty }\) Deligne conjecture”. In: Adv. Math. 223.6 (2010), pp. 2166–2199. arXiv: 0710.3967. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.11.001.

[KT05]

Joachim Kock and Bertrand Toën. “Simplicial localization of monoidal structures, and a non-linear version of Deligne’s conjecture”. In: Compos. Math. 141.1 (2005), pp. 253–261. arXiv: math/0304442. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X04001009.

[Lur]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry VI: \(\mathbb {E}[k]\)-Algebras. arXiv: 0911.0018.

[MS02]

James E. McClure and Jeffrey H. Smith. “A solution of Deligne’s Hochschild cohomology conjecture”. In: Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000). Vol. 293. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 153–193. arXiv: math/9910126. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/293/04948.

[MS03]

James E. McClure and Jeffrey H. Smith. “Multivariable cochain operations and little \(n\)-cubes”. In: J. Amer. Math. Soc. 16.3 (2003), 681–704 (electronic). arXiv: math/0106024. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-03-00419-3.

[MS04]

James E. McClure and Jeffrey H. Smith. “Operads and cosimplicial objects: an introduction”. In: Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory. Vol. 131. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2004, pp. 133–171. arXiv: math/0402117. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-94-007-0948-5_5.

[Sal09]

Paolo Salvatore. “The topological cyclic Deligne conjecture”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.1 (2009), pp. 237–264. arXiv: 0806.3904. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.237.

[Sho16]

Boris Shoikhet. “Differential graded categories and Deligne conjecture”. In: Adv. Math. 289 (2016), pp. 797–843. arXiv: 1303.2500. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.030.

[Tam]

Dmitry E. Tamarkin. Another proof of M. Kontsevich formality theorem. arXiv: math/9803025.

[Tam03]

Dmitry E. Tamarkin. “Formality of chain operad of little discs”. In: Lett. Math. Phys. 66.1-2 (2003), pp. 65–72. arXiv: math/9809164. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:MATH.0000017651.12703.a1.

[Tho]

Justin D. Thomas. Kontsevich’s Swiss Cheese Conjecture. arXiv: 1011.1635.

[TZ06]

Thomas Tradler and Mahmoud Zeinalian. “On the cyclic Deligne conjecture”. In: J. Pure Appl. Algebra 204.2 (2006), pp. 280–299. arXiv: math/0404218. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.04.009.

[Val08]

Bruno Vallette. “Manin products, Koszul duality, Loday algebras and Deligne conjecture”. In: J. Reine Angew. Math. 620 (2008), pp. 105–164. arXiv: math/0609002. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2008.051.

[Vor00]

Alexander A. Voronov. “Homotopy Gerstenhaber algebras”. In: Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon). Vol. 22. Math. Phys. Stud. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000, pp. 307–331. arXiv: math/9908040.

[Vor99]

Alexander A. Voronov. “The Swiss-cheese operad”. In: Homotopy invariant algebraic structures (Baltimore, MD, 1998). Vol. 239. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 365–373. arXiv: math/9807037. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/239/03610.