Homology and Cohomology of Algebraic Structures

ホモロジーやコホモロジーのアイデア, 特に (co)chain complex の (co)homology は, いくつかの分野で独立に登場したようである。 Poincaré による単体的複体のホモロジーの他に, 群や加群の拡大から定義される \(\mathrm {Ext}\) など, 純粋に代数的な問題に起源を持つものもある。

そのような, 代数的構造に対し定義される (co)homology の代表的なものは, 群のコホモロジーだろう。

• group cohomology

群や monoid は, object 1つの small category だから, 群の (co)homology の定義は, 自然に small category に拡張される。

• homology of small category

また, 環は Abel群の category の monoid object だから, monoid の (co)homology を環の (co)homology に一般化することができる。 逆に, 群 \(G\) の cohomology は, group algebra \(k[G]\) の cohomology とみなすこともできる。

環や algebra の (co)homology については, 様々なものが定義されている。

• local cohomology
• Hochschild homology
• cyclic homology
• André-Quillen homology
• crossed simplicial group から定義される代数的構造の homology

このような (co)chain complex を用いて定義されるものの他に, algebraic \(K\)-theory も重要である。

• algebraic \(K\)-theory

他の代数的構造の (co)homology としては, 以下のようなものがある。

• cohomology of Lie algebra
• rack homology
• quandle homology