Coloring Complex

Coloring complex は, Steingrimsson により [Ste01] で導入された, グラフに対して定義される単体的複体の一つである。 そのトポロジーについては, Jonsson [Jon05] により調べられている。Jonsson は, coloring complex の subcomplex として unipolar coloring complex と bipolar coloring complex を定義している。

• unipolar coloring complex
• bipolar coloring complex

単純グラフ \(G\) の coloring complex と \(G\) の graphic hyperplane arrangement の関係については, Herzog, Reiner, Welker の [HRW98] や Hultman の [Hul] や Hersh と Swartz の [HS08] などで調べられている。

その Hultman の論文では, hypergraph に対する一般化が定義されている。

一般化としては, White [Whi23] による linearized combinatorial Hopf monoid に対するものもある。

References

[HRW98]

Jürgen Herzog, Vic Reiner, and Volkmar Welker. “The Koszul property in affine semigroup rings”. In: Pacific J. Math. 186.1 (1998), pp. 39–65. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.1998.186.39.

[HS08]

Patricia Hersh and Ed Swartz. “Coloring complexes and arrangements”. In: J. Algebraic Combin. 27.2 (2008), pp. 205–214. arXiv: 0706.3657. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-007-0086-z.

[Hul]

Axel Hultman. Link complexes of subspace arrangements. arXiv: math/0507314.

[Jon05]

Jakob Jonsson. “The topology of the coloring complex”. In: J. Algebraic Combin. 21.3 (2005), pp. 311–329. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-005-6914-0.

[Ste01]

Einar Steingrı́msson. “The coloring ideal and coloring complex of a graph”. In: J. Algebraic Combin. 14.1 (2001), pp. 73–84. arXiv: math/0104063. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1011222121664.

[Whi23]

Jacob A. White. “Coloring complexes and combinatorial Hopf monoids”. In: J. Combin. Theory Ser. A 194 (2023), Paper No. 105698, 56. arXiv: 1611.04079. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2022.105698.