Category of Matroids

Matroid や oriented matroid の間には, 当然写像の概念がある。よく目にするのは, 次の2種類である。

• weak map
• strong map

他には, Eur と Huh [EH20] により使われている morphism がある。strong map と密接に関連しているもののようであるが。

Folkman と Lawrence の topological representation theorem を functorial にできる, という L. Anderson の論文 [And01] やその unoriented version である Stamps の [Sta13] では, weak map を morphism とした category が使われている。

Heunen と Patta [HP18] は, morphism を strong map にした matroid の category の基本的な性質を概観している。

しかしながら, Heunen と Patta の論文の Introduction に書かれているように, (oriented) matroid とその間の map を category として考えたものは少ないようである。上記の Anderson と Stamps の論文以外で挙げられているのは, Al-Hawary の論文 [Al-97; Al-01; AM03] と Lu と Zheng の [LZ10] である。

最近では, Eppolito, Jun, Szczesny の [EJS20] で, pointed matroid と strong map の category が Hall algebra の視点から調べられている。 彼等は, pointed matroid と strong map の category が proto-exact category であることを示し, その algebraic \(K\)-theory が, 球面の安定ホモトピー群を含んでいることを示している。 その Hall algebraが, Schmitt の Hopf algebra [Sch94] の dual であることも示している。

Elias, Miyata, Proundfoot, Vecchi [Eli+] は, 多面体の category を定義し, matroid base polytope を取ることにより, matroid の category をその category の subcategory として定義している。

Category が定義できるということは, 群の作用や automorphism group が考えられるということである。これについては, Dutour Sikilic らの [DFT11] などがある。

• automorphism group of matroid

Matroid の quotient については, Benedetti と Knauer [BK] の §2.2 に簡潔なまとめがある。そこでは, Brylawski の [Bry86], Cameron らの [Cam+22], White の本 [Whi86] が挙げられている。

• quotient of matroid

References

[Al-01]

Talal Ali Al-Hawary. “Free objects in the category of geometries”. In: Int. J. Math. Math. Sci. 26.12 (2001), pp. 765–770. url: https://doi.org/10.1155/S0161171201010729.

[Al-97]

Talal Ali Al-Hawary. Toward an elementary axiomatic theory of the category of loopless pointed matroids and pointed strong maps. Thesis (Ph.D.)–University of Montana. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1997, p. 122. isbn: 978-0591-66376-1.

[AM03]

Talal Ali Al-Hawary and D. George McRae. “Toward an elementary axiomatic theory of the category of LP-matroids”. In: Appl. Categ. Structures 11.2 (2003), pp. 157–169. url: https://doi.org/10.1023/A:1023557229668.

[And01]

Laura Anderson. “Representing weak maps of oriented matroids”. In: European J. Combin. 22.5 (2001). Combinatorial geometries (Luminy, 1999), pp. 579–586. url: http://dx.doi.org/10.1006/eujc.1999.0480.

[BK]

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[Bry86]

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[Cam+22]

Amanda Cameron, Rodica Dinu, Mateusz Michałek, and Tim Seynnaeve. “Flag matroids: algebra and geometry”. In: Interactions with lattice polytopes. Vol. 386. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Cham, [2022] ©2022, pp. 73–114. arXiv: 1811.00272. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-98327-7_4.

[DFT11]

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[EH20]

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[EJS20]

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[Eli+]

Ben Elias, Dane Miyata, Nicholas Proudfoot, and Lorenzo Vecchi. Categorical valuative invariants of polyhedra and matroids. arXiv: 2401.06869.

[HP18]

Chris Heunen and Vaia Patta. “The category of matroids”. In: Appl. Categ. Structures 26.2 (2018), pp. 205–237. arXiv: 1512.01390. url: https://doi.org/10.1007/s10485-017-9490-2.

[LZ10]

L. X. Lu and W. W. Zheng. “Categorical relations among matroids, fuzzy matroids and fuzzifying matroids”. In: Iran. J. Fuzzy Syst. 7.1 (2010), pp. 81–89.

[Sch94]

William R. Schmitt. “Incidence Hopf algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 96.3 (1994), pp. 299–330. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)90105-8.

[Sta13]

Matthew T. Stamps. “Topological representations of matroid maps”. In: J. Algebraic Combin. 37.2 (2013), pp. 265–287. arXiv: 1104.4152. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-012-0366-0.

[Whi86]

Neil White, ed. Theory of matroids. Vol. 26. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1986, pp. xviii+316. isbn: 0-521-30937-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511629563.