Braid群の表現

Braid群の表現についての survey としては, Bigelow の [Big02] がある。Marin の [Mar13] も最初に読むのに良いように思う。他にも, Abad の lecture note [Aba] などがある。

Jackson と Kerler の [JK] では, 最近の braid群の表現に対する関心として, Bigelow [Big01] と Krammer [Kra02] により示された braid群が linear である事実と, conformal field theory を含む quantum algebra に braid群の表現がよく現われること, の2つを挙げている。

Bigelow と Krammer の結果は, Lawrence-Krammer representation を用いて示された。

• Lawrence-Krammer representation ([Law90; Kra00])
• braid群は linear

Lawrence-Krammer representation は様々な扱いがある。 Lawrenceは, 複素平面の unordered configuration space \(\mathrm{Conf}_n(\bbC )/\Sigma _n\) 上の flat vector bundle の monodromy representation として表現を構成した。 Jackson と Kerler [JK] は \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\) の表現から構成している。

Paoluzzi と Paris [PP02] によると, Krammer と Bigelow の用いたものは monodromy representation の subrepresentation であり全体ではないらしい。Paoluzzi と Paris は Salvetti complex を使っている。

この linearity が, より一般の Artin 群に拡張できないか, と考えるのは自然であるが, 実際 A.M. Cohen と Wales [CW02] と Digne [Dig03] により一部の Artin群に対し証明されている。

他に有名な表現としては以下のようなものがある。

• Burau representation
• Jones representation

Burau representation の categorification が Khovanov と Seidel により [KS02] で得られている。

References

[Aba]

Camilo Arias Abad. Introduction to representations of braid groups. arXiv: 1404.0724.

[Big01]

Stephen J. Bigelow. “Braid groups are linear”. In: J. Amer. Math. Soc. 14.2 (2001), 471–486 (electronic). arXiv: math/0005038. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-00-00361-1.

[Big02]

S. Bigelow. “Representations of braid groups”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002, pp. 37–45. arXiv: math/0304212.

[CW02]

Arjeh M. Cohen and David B. Wales. “Linearity of Artin groups of finite type”. In: Israel J. Math. 131 (2002), pp. 101–123. arXiv: math/0010204. url: https://doi.org/10.1007/BF02785852.

[Dig03]

François Digne. “On the linearity of Artin braid groups”. In: J. Algebra 268.1 (2003), pp. 39–57. url: https://doi.org/10.1016/S0021-8693(03)00327-2.

[JK]

Craig Jackson and Thomas Kerler. The Lawrence-Krammer-Bigelow Representations of the Braid Groups via Quantum \(\mathrm{SL}_2\). arXiv: 0912.2114.

[Kra00]

Daan Krammer. “The braid group \(B_4\) is linear”. In: Invent. Math. 142.3 (2000), pp. 451–486. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220000088.

[Kra02]

Daan Krammer. “Braid groups are linear”. In: Ann. of Math. (2) 155.1 (2002), pp. 131–156. arXiv: math/0405198. url: http://dx.doi.org/10.2307/3062152.

[KS02]

Mikhail Khovanov and Paul Seidel. “Quivers, Floer cohomology, and braid group actions”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.1 (2002), 203–271 (electronic). arXiv: math/0006056. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00374-5.

[Law90]

R. J. Lawrence. “Homological representations of the Hecke algebra”. In: Comm. Math. Phys. 135.1 (1990), pp. 141–191. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104201923.

[Mar13]

Ivan Marin. “On the representation theory of braid groups”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 20.2 (2013), pp. 193–260. arXiv: math/0502118. url: http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2013__20_2_193_0.

[PP02]

Luisa Paoluzzi and Luis Paris. “A note on the Lawrence-Krammer-Bigelow representation”. In: Algebr. Geom. Topol. 2 (2002), 499–518 (electronic). arXiv: math/0111186. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2002.2.499.