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複素 hyperplane arrangement の場合, \(K(\pi ,1)\) かどうかというのが重要な問題の一つである。
\(K(\pi ,1)\) ではない arrangement も, もちろんある。その場合は nontrivial なホモトピー群を決定する, という問題がある。
[Hat75; FR87; FR00; PS02] などを見るとよい。もちろん, 有限複体のホモトピー型を持つ空間なので,
ホモトピー群を完全に決定することは望めないが。
Randell は, [Ran97] で (局所係数でない) \(\Z \) 係数ホモロジーへの Hurewicz map が自明であることを示している。一方で,
Yoshinaga は [Yos08] で, 他の arrangement の generic section になっている場合, nonresonant local
system を係数にしたホモロジーへの Hurewicz map は自明ではないことを示している。その両方の結果を一般化しようというのが,
Randell の [Ran09] である。
高次ホモトピー群以前に, 基本群を arrangement の組み合せ論的なデータで記述する,
というのは結構難しいらしい。知られている方法としては以下のようなものがある。
Libgober と Yuzvinsky の [LY] では, 基本群の characteristic variety を組み合せ論的なデータで記述している。
Fiber-type arrangement の基本群の \(L\)-theory について, Roushon [Rou] が調べている。
基本群と近い関係にあるものとして, holonomy Lie algebra というものがある。より正確には, 基本群の lower
central series による filtration からできる Lie algebra との関係であるが。\(\Q \) 上ではそれらが同型になるというのは,
Kohno の結果 [Koh83] である。Papadima と Suciu は、 [PS06] で, この基本群に associate
した Lie algebra が free Lie algebra の積に分解するための条件を, holonomy Lie algebra
についての条件として求めている。
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