Gel′fand Model

既約表現を丁度一回づつ含むような複素表現を, その群の Gel\('\)fand model という。Bernstein と Gel\('\)fand と Gel\('\)fand の [BGG75] で, そのような表現を構成するという問題が提起された。

まず対称群については, Klyachko [Kly81; Kly83] により構成されたが, 他にも様々な人が構成している。例えば, Inglis と Richardson と Saxl の [IRS90], Kodiyalam と Verma の [KV], Adin と Postnokov と Roichman の [APR08] など。

Araujo [Ara03] が type \(B_n\) の reflection group について, そして Caselli [Cas] が involutory reflection group に対する構成を見付けている。

Adin と Postnikov と Roichman [APR10] は wreath product \(\Z _r\wr \Sigma _n\) の Gel\('\)fand model を構成した。Caselli と Fulci [CF] は, Caselli の結果 [Cas] からこの wreath product の結果を得ている。

References

[APR08]

Ron M. Adin, Alexander Postnikov, and Yuval Roichman. “Combinatorial Gelfand models”. In: J. Algebra 320.3 (2008), pp. 1311–1325. arXiv: 0709.3962. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.03.030.

[APR10]

Ron M. Adin, Alexander Postnikov, and Yuval Roichman. “A Gelfand model for wreath products”. In: Israel J. Math. 179 (2010), pp. 381–402. arXiv: 0802.2824. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11856-010-0086-x.

[Ara03]

J. O. Araujo. “A Gel\('\)fand model for a Weyl group of type \(B_n\)”. In: Beiträge Algebra Geom. 44.2 (2003), pp. 359–373.

[BGG75]

I. N. Bernšteı̆n, I. M. Gel\('\)fand, and S. I. Gel\('\)fand. “Models of representations of compact Lie groups”. In: Funkcional. Anal. i Priložen. 9.4 (1975), pp. 61–62.

[Cas]

Fabrizio Caselli. Involutory reflection groups and their models. arXiv: 0905.3649.

[CF]

Fabrizio Caselli and Roberta Fulci. Refined Gelfand models for wreath products. arXiv: 1007.2769.

[IRS90]

N. F. J. Inglis, R. W. Richardson, and J. Saxl. “An explicit model for the complex representations of \(S_{n}\)”. In: Arch. Math. (Basel) 54.3 (1990), pp. 258–259. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01188521.

[Kly81]

A. A. Klyachko. “Models for complex representations of the groups \(\GL (n,\,q)\) and Weyl groups”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 261.2 (1981), pp. 275–278.

[Kly83]

A. A. Klyachko. “Models for complex representations of groups \(\GL (n,\,q)\)”. In: Mat. Sb. (N.S.) 120(162).3 (1983), pp. 371–386.

[KV]

Vijay Kodiyalam and D.-N. Verma. A natural representation model for symmetric groups. arXiv: math/0402216.