Twisted K-theory の計算

具体的な空間の twisted \(K\)-theory が, どこまで決定されているかは, よく知らない。 見たことのあるものを挙げると, 以下のようになる。

例えば [Mic05] では\(SU(2)\)が調べられている。 より一般に単連結単純Lie群の twisted \(K\)-theory については Douglas の [Dou06] で調べられている。

Kneezel と Kriz は [KK] で, simply connected simple Lie group \(G\) の Verlinde algebra の representation ring の augmentation ideal での completion を計算することにより, 分類空間 \(BG\) 上 の free loop space の twisted \(K\)-theory を決定している。Nonequivariant な場合を equivariant な場合を経由して計算しているわけである。

物性物理学で使われる twisted (equivariant) \(K\)-theory は, 最近盛んに調べられている。 例えば, [SSGb; SSGa] など。

References

[Dou06]

Christopher L. Douglas. “On the twisted \(K\)-homology of simple Lie groups”. In: Topology 45.6 (2006), pp. 955–988. arXiv: math/0402082. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2006.06.007.

[KK]

Daniel Kneezel and Igor Kriz. Completing Verlinde Algebras. arXiv: 0904.4689.

[Mic05]

Jouko Mickelsson. “Twisted \(K\) theory invariants”. In: Lett. Math. Phys. 71.2 (2005), pp. 109–121. arXiv: math/0401130. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-004-6028-y.

[SSGa]

Ken Shiozaki, Masatoshi Sato, and Kiyonori Gomi. Atiyah-Hirzebruch Spectral Sequence in Band Topology: General Formalism and Topological Invariants for 230 Space Groups. arXiv: 1802.06694.

[SSGb]

Ken Shiozaki, Masatoshi Sato, and Kiyonori Gomi. Topology of nonsymmorphic crystalline insulators and superconductors. arXiv: 1511.01463.