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Intersection (co)homology に対し, 通常の位相空間の (co)homology で成り立つことが, どれぐらい成り立つかは,
誰しも疑問に思うことで, 様々なことが調べられてきた。
Intersection homology の Leray-Serre spectral sequence は, 特別な場合は Friedman
[Fri03]により構成された。また [Pad04; Pada] で, 特別な場合の Gysin sequence が得られている。 Intersection
homology に対するLeray-Serre スペクトル系列の類似を考える際に, 問題は stratified space の fibration とは何か,
ということである。
Friedman によるその問に対する解答は [Fri07] であり, そこで stratified fibration に対する spectral
sequence が構成されている。
Franz と Weber [FW05] は, algebraic variety の perverse sheaf による intersection
cohomology に対し, Eilenberg-Moore spectral sequence を構成している。 一般の stratified space
に対しても, singular chain を用いて構成できそうである。
Künneth の定理については, [CGJ92; Fri09] などで証明されている。 Friedman と McClure [FM13] は,
Künneth の定理を用いて, cup product と cap product を定義することに成功している。
Friedman と McClure は, 彼等の cap product を用いて, Lefschetz duality
の類似を証明している。Intersection (co)homology の Lefschetz duality についての文献としては, 他に Valette
の [Val14]や Saralegi-Arangurenの [Sar19] などがある。
コホモロジー作用素については, Goreskyの [Gor84], Goresky と Pardon の [GP89], そして Chataur らの
[CST16] がある。
コホモロジー作用素と言えば, Eilenberg-Mac Lane space であるが, その類似は, Chataur と Tanré [CT]
により考えられている。
Friedman は intersection homology を用いて Alexander polynomial の一般化も定義 [Fri04]
している。Khovanov homology の intersection 版はできるのだろうか?
\(K\)-theory や cobordism の intersection version が存在するか, というのも興味深い問題であるが, \(K\)-theory
については, 最近 scheme の algebraic \(K\)-theory の枠組みでの試みが登場した。 Padurariu の [Padd; Padc;
Padb] など。 それ以前にも, Cautis の [Cau15], Cautis と Kamnitzer の [CK18], そして Eberhardt の
[Ebe] などの試みがあったが。
- intersection \(K\)-theory
Morse理論の類似としては, stratified Morse theory がある。
References
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