Traces on Monoidal Categories

Ponto と Shulman の解説 [PS14] によると, 正方行列の trace の拡張として symmetric monoidal category での dualizable object の endomorphism に対して trace が考えられることは, 70年代の終り頃には知られていた [DP80; KL80] ようである。以来, 様々な方向に一般化が考えられている。

Symmetric monoidal category を braided monoidal category に一般化し, その かわりに twist という構造を考えたのが Joyal と Street [JS93] の balanced monoidal category という構造であるが, そこでの trace を Joyal と Street と Verity [JSV96] が考えている。

  • balanced monoidal category
  • traced monoidal category

Traced monoidal category は, 計算機科学でも登場する。 Hasegawa らの [Has04; HHP08] など。

Stolz とTeichner [ST12] は, balanced monoidal category での trace と topological vector space 上の nuclear operator の trace の共通の一般化を考えている。

Monoidal category の一般化 (many-objectification) として, bicategory は重要であり, trace の (ある条件をみたす) bicategory への一般化も考えられている。 Ponto らの [Pon10; PS13] である。



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