Topos

Grothendieck は, 位相空間上の層のコホモロジーでは得られない情報を取り出すために, 位相の概念を拡張し, Grothendieck topology そして topos の概念を得た。

解説としては, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] がある。 Mac Lane と Moerdijk の Handbook of algebra の中の解説 [MM96] や Borceux の Handbook の第三巻 [Bor94] もある。 Leinster の [Lei] が出たので, まずはそこから出発するのがよいと思う。

Mac Lane と Moerdijk の本のタイトルが示唆するように, topos は本来の目的以外に数学基礎論と深い関連があることが分っている。 集合の圏の一般化とみなすことができるからである。

  • elementary topos

ある topos の object を “set” とみなし, 従来の数学と平行な理論を構築できたりする。例えば, Gel\('\)fand-Naimark duality の constructive proof を考えている人 [BM06; CS09] がいる。

Grothendieck topos の定義は, ある site 上の集合の圏に値を持つ層の圏と同値な圏, というまどろっこしいものであるが, 層を持ち出さずに圏の性質として特徴付けることもできる。 Giraud の定理と呼ばれるものである。一方, elementary topos は Cartesian closed で subobject classifier を持つ圏, として定義される。 そして Grothendieck topos は, elementary topos の特別な場合になっている。

  • Giraud の定理
  • Grothendieck topos は任意の集合で index された coproduct を持ち, small set of generators を持つ elementary topos

これらのことについては, Mac Lane と Moerdijk の本を見るのがよい。以下, elementary topos を単に topos と呼ぶ。

Topos のもう一つの用途は, “generalized space” としてのものである。例えば, Delfs と Knebusch の [DK85] で locally semialgebraic set の定義で用いられている generalized topological space は, Grothendieck topology の特別な場合である。

また, topos を用いると, 分類空間の構成も自然に行なえる。

  • classifying topos

Classifying topos については, Moerdijk の本 [Moe95] が詳しい。 Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] にも例を用いた解説があるが。

Topos のコホモロジーが, Eilenberg-Mac Lane topos へのホモトピー集合で表されることは, Joyal と Wraith の [JW84]で示されたようである。 関連した文献として [Dus79; Gle82; Bek02] などがある。

Leinster の解説 [Lei] には, もう一つの用途として universal algebra が挙げられている。

数理物理の現象を記述するための言葉として用いよう, という試み [CC05; HLS09; DI] もある。

Symmetric monoidal categoryenrichされた圏の上の Grothendieck topology を考え, enriched homotopical topology という概念を考えている人 [Vez] もいる。

\(2\)-category における topos の一般化を考えている人 [Web] もいる。更に, Lurie は “Higher Topos Theory” についてまとめた本 [Lur09] を書いている。 つまり, \((\infty ,1)\)-category への一般化である。

  • \(\infty \)-topos

この MathOverflow の質問では, site 上の sheaf のなす \((\infty ,1)\)-category として得られるものではない \(\infty \)-topos の例を聞いているが, それに対し Lurie がいくつか例を挙げている。

References

[Bek02]

Tibor Beke. “Simplicial torsors”. In: Theory Appl. Categ. 9 (2001/02). CT2000 Conference (Como), pp. 43–60.

[BM06]

Bernhard Banaschewski and Christopher J. Mulvey. “A globalisation of the Gelfand duality theorem”. In: Ann. Pure Appl. Logic 137.1-3 (2006), pp. 62–103. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.apal.2005.05.018.

[Bor94]

Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 3. Vol. 52. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories of sheaves. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xviii+522. isbn: 0-521-44180-3.

[CC05]

J. Daniel Christensen and Louis Crane. “Causal sites as quantum geometry”. In: J. Math. Phys. 46.12 (2005), pp. 122502, 17. arXiv: gr-qc/0410104. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.2138043.

[CS09]

Thierry Coquand and Bas Spitters. “Constructive Gelfand duality for \(C^*\)-algebras”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 147.2 (2009), pp. 339–344. arXiv: 0808.1518. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004109002515.

[DI]

Andreas Doering and Chris Isham. ‘What is a Thing?’: Topos Theory in the Foundations of Physics. arXiv: 0803.0417.

[DK85]

Hans Delfs and Manfred Knebusch. Locally semialgebraic spaces. Vol. 1173. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1985, pp. xvi+329. isbn: 3-540-16060-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074551.

[Dus79]

J. Duskin. “Higher-dimensional torsors and the cohomology of topoi: the abelian theory”. In: Applications of sheaves (Proc. Res. Sympos. Appl. Sheaf Theory to Logic, Algebra and Anal., Univ. Durham, Durham, 1977). Vol. 753. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 255–279.

[Gle82]

Paul G. Glenn. “Realization of cohomology classes in arbitrary exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 25.1 (1982), pp. 33–105. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90094-9.

[HLS09]

Chris Heunen, Nicolaas P. Landsman, and Bas Spitters. “A topos for algebraic quantum theory”. In: Comm. Math. Phys. 291.1 (2009), pp. 63–110. arXiv: 0709.4364. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0865-6.

[JW84]

A. Joyal and G. Wraith. “Eilenberg-MacLane toposes and cohomology”. In: Mathematical applications of category theory (Denver, Col., 1983). Vol. 30. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1984, pp. 117–131.

[Lei]

Tom Leinster. An informal introduction to topos theory. arXiv: 1012.5647.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[MM94]

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic. Universitext. A first introduction to topos theory, Corrected reprint of the 1992 edition. New York: Springer-Verlag, 1994, pp. xii+629. isbn: 0-387-97710-4.

[MM96]

S. MacLane and I. Moerdijk. “Topos theory”. In: Handbook of algebra, Vol. 1. Amsterdam: North-Holland, 1996, pp. 501–528. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(96)80018-0.

[Moe95]

I. Moerdijk. Classifying spaces and classifying topoi. Vol. 1616. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1995, pp. vi+94. isbn: 3-540-60319-0.

[Vez]

Gabriele Vezzosi. A sketchy note on enriched homotopical topologies and enriched homotopical stacks. arXiv: math/0507447.

[Web]

M. Weber. Strict 2-toposes. arXiv: math/0606393.