Subspace Arrangments

超平面配置は, ベクトル空間の中の codimension 1 の affine subspace の集まりを考えるものであるが, より codimension の大きな subspace を考えることも行なわれている。そのようなものを, 一般に subspace arrangement と呼ぶようである。

解説としては, Björner の survey [Bjö94] がある。Nested set complex や graph の coloring complex などとも関係があるようである。

複素 hyperplane arrangement を実 subspace arrangement とみなすと codimension \(2\) の subspace arrangement ができるが, より一般に codimension \(2\) の実 subspace arrangement で複素 hyperplane arrangement に関することがどれぐらい成り立つか, という問題も考えられる。例えば, いつ \(K(\pi ,1)\) になるか, とか。

  • 実 codimension \(2\) subspace arrangement の \(K(\pi ,1)\) 問題

複素 hyperplane arrangement から来ていない例としては, Khovanov が [Kho96] で考えている \(3\)-equal arrangement がある。これは braid arrangement の一般化と考えられる。Khovanov は, これが \(K(\pi ,1)\)で あることを証明し, またその基本群も決定した。Severs と White の [SW12] によると, homology は Björner と Welker の [BW95] で決定されたようである。

  • \(k\)-equal arrangement

\(3\)-equal arrangement の補集合の基本群は, Mostovoy の [Mos] や Farley の [Far] では, planar pure braid group と呼ばれている。Guba と Sapir [GS97] の意味での diagram group になっているようである。

  • planar pure braid group

\(k\)-equal arrangement の \(B\) 型や \(D\) 型への一般化についても, Björner と Sagan [BS96] などにより定義され調べられている。

より一般の Coxeter group に対しては, Barcelo と Severs と White [BSW11] が \(k\)-parabolic arrangement という subspace arrangement を定義し, Khovanov の結果の類似を \(3\)-parabolic arrangement に対し証明している。

  • \(k\)-parabolic arrangement

Severs と White [SW12] は \(k\)-parabolic arrangement の complement の homotopy type を表わす cell complex を構成している。

\(k\)-equal arrangement は, hypergraph から定義される hypergraphc arrangement と呼ばれる subspace arrangement の class でもある。

\(1\)次元の affine subspace の成す subspace arrangement を line arrangement というが, line arrangement の complement の基本群については, Eliyahu と Garber と Teicher [EGT10] が調べている。

実 hyperplane arrangement を \(\otimes \R ^n\) して高次元化したものについては, Salvetti complex の一般化が構成できる。 Björner と Ziegler の [BZ92] の最後で触れられているが, De Concini と Salvetti の [DS00] に詳しく書かれている。

  • Salvetti complex の高次元版

ホモロジーについては, Goresky と MacPherson の stratified Morse theory の本 [GM88] の Part III にいくつかの性質が書かれている。 Goresky と MacPherson の結果は additive structure を与えるが, integral cohomology での ring structure を考えたものとして, de Longueville と Schultz の [LS01] がある。

Gel\('\)fand と Varchenko [VG87] は, complexified arrangement の rational cohomology が元の real arrangement の chamber 達の上の locally constant function の成す algebra の associated graded algebra として表わされることを発見したが, その結果は \(\otimes \R ^3\) してできる subspace arrangement の cohomology で考えるべき, と主張するのは Moseley [Mos17] である。その根拠は, de Longueville と Schultz の [LS01] で示されている周期 \(2\) の周期性である。

Codimension \(2\) 以上の affine subspace を考えるということは, いわゆる捻れの位置にあるものを考えることができるということである。 そのようなものだけを考えることも行なわれている。例えば, Bacher と Garber の [BG] では, \(\R ^3\) の中の捻れの位置にある直線の配置が考えられている。

References

[BG]

Roland Bacher and David Garber. Eulerian partitions for configurations of skew lines. arXiv: 1006.3447.

[Bjö94]

Anders Björner. “Subspace arrangements”. In: First European Congress of Mathematics, Vol. I (Paris, 1992). Vol. 119. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1994, pp. 321–370.

[BS96]

Anders Björner and Bruce E. Sagan. “Subspace arrangements of type \(B_n\) and \(D_n\)”. In: J. Algebraic Combin. 5.4 (1996), pp. 291–314. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1022492431260.

[BSW11]

Hélène Barcelo, Christopher Severs, and Jacob A. White. “\(k\)-parabolic subspace arrangements”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 363.11 (2011), pp. 6063–6083. arXiv: 0909 . 0720. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05336-5.

[BW95]

Anders Björner and Volkmar Welker. “The homology of “\(k\)-equal” manifolds and related partition lattices”. In: Adv. Math. 110.2 (1995), pp. 277–313. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1995.1012.

[BZ92]

Anders Björner and Günter M. Ziegler. “Combinatorial stratification of complex arrangements”. In: J. Amer. Math. Soc. 5.1 (1992), pp. 105–149. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152753.

[DS00]

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[EGT10]

Meital Eliyahu, David Garber, and Mina Teicher. “A conjugation-free geometric presentation of fundamental groups of arrangements”. In: Manuscripta Math. 133.1-2 (2010), pp. 247–271. arXiv: 0810.5615. url: https://doi.org/10.1007/s00229-010-0380-2.

[Far]

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[GM88]

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[GS97]

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[Kho96]

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[LS01]

Mark de Longueville and Carsten A. Schultz. “The cohomology rings of complements of subspace arrangements”. In: Math. Ann. 319.4 (2001), pp. 625–646. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00004452.

[Mos]

Jacob Mostovoy. A presentation for the planar pure braid group. arXiv: 2006.08007.

[Mos17]

Daniel Moseley. “Equivariant cohomology and the Varchenko-Gelfand filtration”. In: J. Algebra 472 (2017), pp. 95–114. arXiv: 1110.5369. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.10.010.

[SW12]

Christopher Severs and Jacob A. White. “On the homology of the real complement of the \(k\)-parabolic subspace arrangement”. In: J. Combin. Theory Ser. A 119.6 (2012), pp. 1336–1350. arXiv: 1012. 3387. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2012.03.008.

[VG87]

A. N. Varchenko and I. M. Gel\('\)fand. “Heaviside functions of a configuration of hyperplanes”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21.4 (1987), pp. 1–18, 96.