統計物理学に関係した話題

統計力学と呼ぶのがよいのか統計物理学と呼ぶのがよいのかよく知らない。 英語でも statistical mechanics と呼ばれたり statistical physics と呼ばれたりする。

その statistical mechanics がどういうものなのかはよく知らないのであるが, 数学の様々な文献で motivation として statistical mechanics の問題やモデルが挙げられている。中でも多いのが, グラフを用いたモデルである。

• discrete models on graphs

他の数理物理における離散モデルについては, 以下にまとめた。

• discrete models in physics

Bost と Connes [BC95] は, \(C^*\)-algebra とその自己同型群の one parameter subgroup を用いてquantum statistical system を定義している。彼等の調べているのは, \(C^*\)-algebra が離散群 \(\Gamma \) とその almost normal subgroup \(\Gamma _0\) から定義される Hecke algebra の場合であるが。特に, \(\Gamma \) が \(\GL _2(\Q )\) の部分群 \(P_{\Q }^+\) で \(\Gamma _0\) が \(P_{\Z }^+\) の場合は, Bost-Connes system (BC system) と呼ばれているようである。Connes と Consani [CC14] がその数論的性質を調べている。

References

[BC95]

J.-B. Bost and A. Connes. “Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory”. In: Selecta Math. (N.S.) 1.3 (1995), pp. 411–457. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01589495.

[CC14]

Alain Connes and Caterina Consani. “On the arithmetic of the BC-system”. In: J. Noncommut. Geom. 8.3 (2014), pp. 873–945. arXiv: 1103.4672. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/173.