Simplicial Arrangements

実 超平面配置の中で, chamber が全て simplicial cone になっているものを simplicial arrangement という。

Cuntz と Geis [CG15] によると, simplicial arrangement は Melchior [Mel41] が1940年代に調べたのが最初のようである。

1970頃には, Grünbaum が 実射影平面 \(\RP ^{2}\) 中の simplicial arrangement の list [Grü71] を作っている。その updated 版が [Grü09] である。さらに [CEL22] で update されている。

Cuntz [Cun12] はその Grünbaum のカタログにない \(\RP ^{2}\) 内の simplicial arrangements を見つけている。 その Cuntz の論文や Cuntz らの [CEL22] によると \(\RP ^{2}\) 内の simplicial arrangement の分類は, まだ open problem のようである。

トポロジーの視点からの simplicial arrangement の重要な性質は, その複素化の補集合が \(K(\pi ,1)\) であることだろう。 これは Deligne [Del72] の結果である。

Cuntz の仕事は, Weyl groupoid と simplicial arrangement の関係による。

• Weyl groupoid

例えば, Cuntz [Cun11] は, simplicial arrangement の class として, crystallographic arrangement という class を定義している。

• crystallographic arrangement

Cuntz は Heckenberger との共著 [CH15] でその分類を行なっている。

Cuntz と Geis [CG15] は simpliciality という概念を導入している。

Cuntz と Mücksch [CM19] は supersolvable simplicial arrangement を分類している。

References

[CEL22]

Michael Cuntz, Sophia Elia, and Jean-Philippe Labbé. “Congruence normality of simplicial hyperplane arrangements via oriented matroids”. In: Ann. Comb. 26.1 (2022), pp. 1–85. arXiv: 2009.14152. url: https://doi.org/10.1007/s00026-021-00555-2.

[CG15]

M. Cuntz and D. Geis. “Combinatorial simpliciality of arrangements of hyperplanes”. In: Beitr. Algebra Geom. 56.2 (2015), pp. 439–458. arXiv: 1302.2052. url: https://doi.org/10.1007/s13366-014-0190-x.

[CH15]

Michael Cuntz and István Heckenberger. “Finite Weyl groupoids”. In: J. Reine Angew. Math. 702 (2015), pp. 77–108. arXiv: 1008.5291. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0033.

[CM19]

Michael Cuntz and Paul Mücksch. “Supersolvable simplicial arrangements”. In: Adv. in Appl. Math. 107 (2019), pp. 32–73. arXiv: 1712.01605. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2019.02.008.

[Cun11]

M. Cuntz. “Crystallographic arrangements: Weyl groupoids and simplicial arrangements”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 43.4 (2011), pp. 734–744. arXiv: 1006.1997. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdr009.

[Cun12]

M. Cuntz. “Simplicial arrangements with up to 27 lines”. In: Discrete Comput. Geom. 48.3 (2012), pp. 682–701. arXiv: 1108.3000. url: https://doi.org/10.1007/s00454-012-9423-7.

[Del72]

Pierre Deligne. “Les immeubles des groupes de tresses généralisés”. In: Invent. Math. 17 (1972), pp. 273–302. url: https://doi.org/10.1007/BF01406236.

[Grü09]

Branko Grünbaum. “A catalogue of simplicial arrangements in the real projective plane”. In: Ars Math. Contemp. 2.1 (2009), pp. 1–25.

[Grü71]

Branko Grünbaum. “Arrangements of hyperplanes”. In: Proceedings of the Second Louisiana Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1971). Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., 1971, pp. 41–106.

[Mel41]

E. Melchior. “Über Vielseite der projektiven Ebene”. In: Deutsche Math. 5 (1941), pp. 461–475.