Semi-algebraic setやその一般化

実数 \(\R \) は順序体なので, 不等式の解空間を考えることができる。 例えば, 一次不等式の解空間として, 凸多面体が得られる。

• polytope

多項式を用いた不等式 (と等式) で定義された \(\R ^n\) の部分集合を semi-algebraic set という。

Vilonen の [Vil00] では, [BM88] と [DM96] が参照されている。より新しいものでは, Basu と Pollack と Roy の本 [BPR06] がある。 PDF を このページから download することができる。

Semialgebraic set のホモトピー型やホモトピー不変量などについては, この本も含めた Basu らの仕事 [Bas08; BPR10] がある。 Basu は [Bas08] というsurvey も書いている。[BPR09] には Betti数の計算についての “Brief History” がある。

Basu と Riener [BR17] によると, Betti数の upper bound は computer science などへの応用があるらしい。文献としては, [BPR05; Yao97; MMP96; BL94] などが挙げられている。

Semialgebraic set のホモトピー論や 一般(コ)ホモロジーを考えている人 [Piȩ13] もいる。O-minimal structure 上に一般化したものであるが。 ただ, semialgebraic set のホモトピー論を systematic に研究したのは Delfs と Knebusch [DK85] が最初のようである。 Delfs は [Del91] でホモロジーも調べている。

• o-minimal structure
• locally semialgebraic space

Semialgebraic set は, 単体分割可能であるが, これについては Basu と Karisani [BK] は, Basu と Pollack と Roy の本 [BPR06] の Chapter 5 を参照している。 Basu と Karisani は, semialgebraic set からその単体分割になる simplicial complex を構成する algorithm について考えている。

Semialgebraic set を張り合わせてできた Nash manifold という 多様体の一般化もある。 張り合わせるときの写像には, グラフが semialgebraic set になっているという条件をつける。Shiota の本 [Shi87] がある．

• Nash manifold

Kontsevich と Soibelman は, [KS00] の Appendix で, semialgebraic set を含む piecewise algebraic space という概念を考え, それに対する rational homotopy theory の類似について考察している。Hardt らの [Har+11] は, その細部を埋めたものである。 Kontsevich と Soibelman の motivation は, little cube operad の formality, そして, Deligne予想である。

• piecewise algebraic space

凸多面体や oriented matroid の realization space は semi-algebraic set になるので, それらに関した文献にも semialgebraic set に関したことは書いてある。例えば, Richter-Gebert の [Ric96] など。Realization space については次の概念が重要である．

• 2つの semi-algebraic set が stably equivalent であること

これらの realization space については, universality theorem がある。つまり, どんな semialgebraic set に対しても, 適当な oriented matroid や convex polytope があり, その realization space と stably equivalent になるというものである。

このように real (semi-)algebraic geometry は, 組み合せ論とも関係が深い。Itenberg と Roy の [IR99] では, 実1変数代数方程式の正の解の個数に関する “Decartes の rule” がその prototype である, と書いてある。

Engström と Hersh と Strumfels [EHS13] は, toric cube という, 立方体 \([0,1]^n\) の中の monomial map で定義された領域を topological combinatorics の視点から調べている。 系統樹などとも関連していて, 興味深い対象のようである。

• toric cube

さらに次のような空間もある。

• semi-analytic set
• subanalytic set

それらの orbifold版を考えているのは, Kankaanrinta [Kan] である。また [Kan12] では, その triangulation について考えている。

\(\R \) 以外の体上の semialgebraic set を考えることもできる。

• \(p\)-adically closed field やより一般の体上の semialgebraic set

例えば, Denef の [Den84; Den86] では \(p\)進数体 \(\Q _{p}\) の 有限次拡大体上の semialgebraic set の “cell decomposition” の存在が証 明されている。 Darnière [Dar19] は, \(p\)-adic closed field [AK65] 上の semialgebraic set の 三角形分割の存在を証明している。 そこで使われている単体や多面体は, [Dar17] で定義されている。

References

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[Bas08]

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