凸多面体や oriented matroid の realization space

凸多面体の affine 写像による像は, その頂点の像で定まる。よって凸多面体の Euclid 空間での実現 (realizatioin) とは, その頂点の集合から Euclid 空間への写像を考えることである。もちろん, その像が元の多面体と組み合せ同値になっていないといけないが。 そのような写像の affine 同値類の集合をその多面体の realization space という。 多面体が \(d\) 次元の場合, その頂点の中から \((d+1)\) 個の affine 独立な点が選べるので, realization はそれ以外の頂点の行き先で決まる。よって realization space は, (頂点\(-d-1\))個の点の configuration space の部分空間である。

凸多面体の realization space については, まず Springer Lecture Notes にある Richter-Gebert の [Ric96] を見るべきだろう。

ホモトピー論の視点からは, configuration space の変種として, realization space のホモトピー型が気になるところである。 ところが次のような結果が知られている。

• \(3\)次元凸多面体の realization space は可縮
• \(4\)次元凸多面体の realization space は, 任意の有限単体的複体のホモトピー型を持つ [RZ95]

実現全体ではなく, ある条件をみたす実現の成す部分空間を考えるとどのような空間ができるか, というのも面白そうな問題であるが, それについては, 例えば [BJP] で考えられている。辺が球面と接するものを Koebe realization, 更に接点の重心が原点になるものを Springborn realization と呼び, 3次元の場合が調べられている。

• Koebe realization
• Springborn realization

凸多面体の組み合せ論的情報は, matroid polytope として oriented matroid の言葉に翻訳できるので, realization space の oriented matroid に対する一般化を考えるのは自然である。実際一般の oriented matroid に対し realization spaceを 定義できるし, oriented matroid で考えた方が自然である。例えば, 上の\(4\)次元凸多面体の realization space についての結果は, 次の oriented matroid の realization space に関する結果から得られる。

• (MnëvのUniversality Theorem [Mnë85; Mnë88]) \(\Z \) 上定義された任意の semialgebraic set \(X\) に対し, realization space が \(X\) と stably equivalent, よってホモトピー同値である rank \(3\) oriented matroid が存在する。

この Universality Theorem の証明は, Mnëv の原論文では sketch しか書かれていないので, Richter-Gebert の [Ric95; Ric96; Ric99] や oriented matroid の教科書 [Bjö+99] などを参照しないといけない。また Adiprasito と Padrol の [AP17] の Introduction にも目を通しておくとよい。 Oriented matroid の realization space で実現する以外に, 3つの version が書かれている。その内の一つ, semialgebraic set が open な場合に simplicial polytope の realization space で実現できるという statement については, この Adiprasito と Padrol の論文以前にはちゃんとした証明がなかったようである。

この Mnëv の定理は, 代数幾何学にも使われている。 Vakil の [Vak06] など。Lee と Vakil の [LV13] によると, その元になっているのは Vershik の universality philosophy [Ver88] らしい。Scheme 版についても何人かが考えている。 Lafforgue の [Laf03] や Lee と Vakil の [LV13] など。

応用としては, Belkale と Brosnan [BB03] による, グラフの Kirchhoff polynomial に関する Kontsevich の予想の反例がある。

References

[AP17]

Karim A. Adiprasito and Arnau Padrol. “The universality theorem for neighborly polytopes”. In: Combinatorica 37.2 (2017), pp. 129–136. arXiv: 1402.7207. url: https://doi.org/10.1007/s00493-016-3253-9.

[BB03]

Prakash Belkale and Patrick Brosnan. “Matroids, motives, and a conjecture of Kontsevich”. In: Duke Math. J. 116.1 (2003), pp. 147–188. arXiv: math/0012198. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-03-11615-4.

[Bjö+99]

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[BJP]

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[Laf03]

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[LV13]

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[Mnë85]

N. E. Mnëv. “Varieties of combinatorial types of projective configurations and convex polyhedra”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 283.6 (1985), pp. 1312–1314.

[Mnë88]

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[Ric95]

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[Ric96]

Jürgen Richter-Gebert. Realization spaces of polytopes. Vol. 1643. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1996, pp. xii+187. isbn: 3-540-62084-2.

[Ric99]

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[RZ95]

Jürgen Richter-Gebert and Günter M. Ziegler. “Realization spaces of \(4\)-polytopes are universal”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 32.4 (1995), pp. 403–412. arXiv: math / 9510217. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1995-00604-X.

[Vak06]

Ravi Vakil. “Murphy’s law in algebraic geometry: badly-behaved deformation spaces”. In: Invent. Math. 164.3 (2006), pp. 569–590. arXiv: math/0411469. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0481-9.

[Ver88]

A. M. Vershik. “Topology of the convex polytopes’ manifolds, the manifold of the projective configurations of a given combinatorial type and representations of lattices”. In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. Vol. 1346. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1988, pp. 557–581. url: https://doi.org/10.1007/BFb0082794.