Permutohedron と関連した話題

\(\R ^{n}\) の点 \((1,\ldots ,n)\) の座標の permutation で得られる点達の convex hull で得られる convex polytope \(P_{n}\) を permutohedron という。 Ziegler [Zie95] の本によると, Schoute [Sch11] により, 最初に調べられたようである。

\(\R ^{n}\) 内で定義されているが, 超平面 \[ x_{1}+\cdots +x_n=\frac {n(n+1)}{2} \] に乗っているので, \((n-1)\)次元多面体である。頂点は, \((1,\ldots ,n)\) の permutation \((i_{1},\ldots ,i_{n})\) で得られる \(n!\) 個の点であるが, それを \(\{1,\ldots ,n\}\) の順序の付いた 分割 \(i_{1}|\ldots |i_{n}\) とみなすのがよい。 すると, より一般に \(k\) 次元の面は, 集合 \(\{1,\ldots ,n\}\) の \((n-k)\)個への順序の付いた分割と1対1に対応する。 つまり, \(P_{n}\) の face poset は, \(\{1,\ldots ,n\}\) の partition が成す poset \(\Pi _{n}\) の opposite と同型である。

人によっては, permutahedron と書いたりする。 例えば, Loday の [Lod04] では permutohedron であるが, Hohlweg の [Hoh12] では permutahedron と書かれている。 Wikipedia のページ によると, フランス語の permutoédre という用語が, Guilbaud と Rosenstiehl の [GR63] で導入されたのが最初らしい。 ここでは, それにならって permutohedron と綴ることにする。

この Hohlweg の survey によると, permutohedron を 単体を切ることにより作る方法を発見したのは, Shnider と Sternberg [SS93] であり, それを完成したのは Loday [Lod04] らしい。

Permutohedron は, Milgram の仕事 [Mil66] に登場するように, 多重ループ空間と関係が深い。 Kadeishvili と Saneblidze [KS15] によると, ループ空間の chain complex のモデルを考える際には, permutohedron に基づいた permutohedral set を用いるとよいようである。(Saneblidze と Umble の [SU04])

その Sanbelidze と Umble の論文で与えられた permutohedron の diagonal を, 計算機で計算することを [Vej] で Vejdemo-Johansson が考えている。

Kapranov [Kap93a] は, permutohedron に associate した toric variety を permutohedral space と呼んでいる。Losev と Manin [LM00] の導入した2色に色付けされた 代数曲線の moduli space と同じ空間になるようである。最近では, permutohedral variety と呼ばれるのが普通だと思う。関連したものとして stellahedron という多面体に対応する stellahedral variety が Eur, Huh, Larson の [EHL23] で調べられている。その論文では stellahedron の定義がはっきりしないが, Sanchez の [San] で直接定義されている。

• stellahedron

A. Postnikov [Pos09] は, より一般の点 \((x_{1},\ldots ,x_{n})\) の座標の permutation から得られるもの \(P_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\) を generalized permutohedron と呼んでいる。

• generalized permutohedron

その体積や lattice point について, Postnikov が [Pos09] で調べている。Postnikov らは, [PRW08] で面の数 (\(f\)-vector) などを決定している。

Aguiar と Ardila [AA23] は, generalized permutohedron 達が Hopf monoid in species の構造を持つことを示している。 Ardila と Sanchez [AS23] は, その Hopf monoid の構造と valuation の構造が, generalized permutohedron に対しては compatible であることを示している。

変種としては, generalized permutohedron の他には, まず Kapranov [Kap93b] により考えられた permutoassociahedron を挙げるべきだろう。 Ivanović ら [BIP19; Iva20] による同じ頂点を持つ simple polytope になっているものもある。

• permutoassociahedron
• simple permutoassciahedron

正確には, Kapranov は assciahedron と permutohedron の face poset を合わせたような poset を定義し, それが CW ball の face poset であることを示した。 それが 凸多面体の face poset として実現できることを示したのは, Reiner と Ziegler [RZ94] である。Castillo と Liu [CL23] による別の実現もある。

Oh [Oh13] は, transversal matroid から convex polytope を構成する方法を考え, できた polytope を transversalhedron と呼んでいる。Generalized permutohedron に関係したもののようである。

別の方向としては, symmetric group が reflection group であることに着目し, Coxeter group に一般化することが考えられている。それについては Hohlweg の survey [Hoh12] がある。

• Coxeter permutohedron

Tsukerman と Williams [TW15] は, Bruhat interval polytope という変種を調べている。Kodama と Williams の [KW15] の Appendix に登場する。これは, permutohedron の辺が 対称群の weak Bruhat order の cover relation と1対1に対応することからの一般化である。Pairmutohedron や mutohedron などの名前が提案されている。 Willaimsは [Wil16] で bridge polytope という変種も定義している。

面を定義する不等式をいくつか除いたものを, Pilaud [Pil17] は removahedron と呼んでいる。

• removahedron

一方で面を定義する超平面を平行移動させたものは, deformed permutothedron と呼ばれている。

• deformed permutohedron

例えば nestohedron や graph associahedron は deformed permutohedron になっている, らしい。Pilaud [Pil17] は, どの nestohedron が removahedron であるかという問題を考えている。

他にも, 一般化として Schulte ら5人組の [Ara+10] で定義された graphicahedron というものもある。

• graphicahedron

これは, graph から定義される abstract polytope であり, 直線状の graph の場合が, 古典的な permutohedron (の face poset) になるようである。

Graphicahedron に近いものとして, Ayzenberg と Buchstaber [AB21] により導入された cluster-permutohedron という poset もある。 彼等は, [AB24] で graphicahedron との関係を調べている。

• cluster-permutohedron

凸多面体ではない変種としては, Panina の cyclopermutohedron [Pan15] もある。 凸多面体としては実現できないが virtual polytope としては実現できるようである。

• cyclopermutohedron

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