Partially Defined Algebraic Structures

演算が部分的にしか定義されていない代数的構造の内, 最も基本的なのは, partial monoid (semigroup) だろう。

• partial monoid

Partial monoid は, \(C^*\)-algebra に関連して, Burgstaller [1111.4160] などによっても調べられている。そこでは, semimultiplicative set と呼ばれているが。[Bur09] では, partial monoid の \(C^*\)-algebra や equivariant \(KK\)-theory が考えられている。

ホモトピー論では, [Shi01; Tam13] など。 位相を持ったものであるが。

他にも, 様々な場面で異なる名前で登場する。例えば, Bessis の [Bes03] では pre-monoid という名前で呼ばれている。

更に弱めて, 積が部分的にしか定義されていない magma を, Jonsson [Jon] は partial magma と呼んでいる。関連して semigroupoid や poloid といった構造も調べている。

• partial magma
• semigroupoid
• poloid

他の partial monoid の一般化としては, Bianchi [Bia] が Hurwitz space の一般化のために導入した parially multiplicative quandle がある。名前の通り, quandle の一般化にもなっている。

• partially multiplicative quandle

Partial semigroup は, [DE18] や [Gho23] などで登場する。

• partial semigroup

Partial monoid で逆元を持つものは, partial group と呼ばれるが, あまり調べられていないようである。Chermak [Che22] で定義されたのが最初なのだろうか。

• partial group

Fusion system と関係あるため, ホモトピー論の人が中心になって調べているようである。 Broto と Gonzalez [BG] は, 拡大の理論を展開している。 Salati [Sal] は, partial group の category での limit や colimit を調べている。

Díaz Ramos と Molinier と Viruel [RMV] は, どんな群も partial group の automorphism group として表せることを示している。 つまり, partial group の category は universal category である, ということである。

更に和を持つものを partial ring という。van den Berg と Heunen の [BH12; BH13] などで登場する。 Gillibert の [Gil14] では, partial algebra の圏について, 考えられている。

• partial ring and partial algebra

部分的に定義された作用も考えられている。 Exel [Exe94] は, \(C^*\)-algebra の文脈で, 群の partial action を考えている。 Hopf algebra の partial action は, Caenepeel と Jansen [CJ08] により定義された。 これらについては, Batista の survey [Bat17] がある。Dokuchaev の survey [Dok11; Dok19] もある。

Partial monoid の many-objectification として partial category, つまり morphism の合成が部分的にしか定義されていないものが考えられるが, このようなものは, 何人もの人が独立に定義していて, しかも全て違う名前で呼んでいるので困る。例えば, Bessis [Bes] は germ, R. Milner [Mil06] は precategory と呼んでいる。Andersen と Kashaev [AK14] は categroid という名前を使っている。

• partial category あるいは germ あるいは precategory あるいは categroid

\(2\)-category の partial 版は, Cazassus の [Caz] に登場する。

References

[AK14]

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[Bat17]

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[Bes]

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[Bes03]

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[BH13]

Benno van den Berg and Chris Heunen. “Erratum to: Noncommutativity as a colimit”. In: Appl. Categ. Structures 21.1 (2013), pp. 103–104. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-012-9298-z.

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[RMV]

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[Sal]

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[Shi01]

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