Monodromy

Monodromy とは, 特異点の周りをぐるっと一周したときに何が起るかを調べる, という問題である。

例えば, \(\bbC \setminus \{0\}\) 上の普遍被覆 \[ p : \set{x+iy \in \bbC }{y>0} \rarrow{} \bbC \setminus \{0\} \] において, 底空間 \(\bbC \setminus \{0\}\) で \(0\) の周りをぐるっと一周するときに, その上のファイバーの点は元の点に戻ってこれない。これは, この被覆空間を原点の上に拡張できないことと関係があるわけである。

調べる空間の基本群から, 別の空間の configuration space の基本群, つまり braid群への準同型で空間レベルの写像で代表され るものを braid monodromy というようである。Lönne の [Lön11] など。

  • braid monodromy

高次の圏を用いて higher monodromy を考えることもできる。Poesello と Waschkiesの [PW05] など。 そのためには, ホモトピー群の基点を考えない higher groupoid 版が必要になる。

Yetter [Yet03] は, quandle を使うとよいと言っている。

References

[Lön11]

Michael Lönne. “Bifurcation braid monodromy of plane curves”. In: Complex and differential geometry. Vol. 8. Springer Proc. Math. Springer, Heidelberg, 2011, pp. 235–255. arXiv: 1003.3044. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-20300-8_14.

[PW05]

Pietro Polesello and Ingo Waschkies. “Higher monodromy”. In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 109–150. arXiv: math/0407507. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839377.

[Yet03]

D. N. Yetter. “Quandles and monodromy”. In: J. Knot Theory Ramifications 12.4 (2003), pp. 523–541. arXiv: math/0205162. url: https://doi.org/10.1142/S0218216503002597.