Monodromy

Monodromy とは, 特異点の周りをぐるっと一周したときに何が起るかを調べる, という問題である。

例えば, \(\bbC \setminus \{0\}\) 上の普遍被覆 \[ p : \set {x+iy \in \bbC }{y>0} \rarrow {} \bbC \setminus \{0\} \] において, 底空間 \(\bbC \setminus \{0\}\) で \(0\) の周りをぐるっと一周するときに, その上のファイバーの点は元の点に戻ってこれない。これは, この被覆空間を原点の上に拡張できないことと関係があるわけである。

調べる空間の基本群から, 別の空間の configuration space の基本群, つまり braid群への準同型で空間レベルの写像で代表され るものを braid monodromy というようである。Lönne の [Lön11] など。

• braid monodromy

高次の圏を用いて higher monodromy を考えることもできる。Poesello と Waschkies の [PW05] では, ホモトピー群の基点を考えない higher groupoid が使われているが, stratified space の場合には, Lurie の [Lur] の Appendix A のように exit-path \((\infty ,1)\)-category を使う。

Monodromy により locally constant sheaf の圏と基本群の表現の圏の同値が得られるが, その拡張として, constructible sheaf のなす \((\infty ,1)\)-category と exit-path \((\infty ,1)\)-category の表現の成す \((\infty ,1)\)-category の間の同値が得られる。 最近では, これを exodromy equivalence と呼ぶようである。

• exodromy equivalence

References

[Lön11]

Michael Lönne. “Bifurcation braid monodromy of plane curves”. In: Complex and differential geometry. Vol. 8. Springer Proc. Math. Springer, Heidelberg, 2011, pp. 235–255. arXiv: 1003.3044. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-20300-8_14.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[PW05]

Pietro Polesello and Ingo Waschkies. “Higher monodromy”. In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 109–150. arXiv: math/0407507. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839377.