高次のファイバー束

ファイバー束の概念の高次化が, 様々な場面で必要になってきている。 良く知られたもの, そしてかなり古くから研究されているものとして gerbe がある。これは line bundle の高次化である。

• gerbe

構造群を Lie 2-group にしたものも考えられている。 Nikolaus と Waldrof の [NW13] を見るとよい。 Ginot と Stiénon [GS15] は principal \(2\)-group bundle と groupoid extension との関係を調べている。

また, 高次のベクトル束は, elliptic cohomology の幾何学的構成のための候補の一つである。

Bouknegt らの [Bou+02] では, bundle gerbe module という概念が定義され, それを用いて \(K\)-theory の類似が定義されている。

• bundle gerbe module
• \(2\)-vector bundle

ファイバー束の categorification である \(2\)-bundle という概念を定義することも試みられている。Bartels の [Bar] などである。そこに はprincipal \(2\)-bundle を分類空間へのホモトピー集合で分類することが目標である, と書いてある。 Wockel による [Woc11] もある。

別の方向での高次化としては, \((\infty ,1)\)-category を用いて higher coherency condition を記述した bundle がある。 正確には, \(\infty \)-topos での morphism で, ある種の局所自明性をみたすものとして定義される。 最初に調べ始めたのは, Nikolaus ら [NSS15a; NSS15b] だろうか。 彼等の主題は principal \(\infty \)-bundle であるが。

• \(\infty \)-bundle
• principal \(\infty \)-bundle

Bunk による解説 [Bun] があるので, まずはこれを見るのが良いと思う。

References

[Bar]

Toby Bartels. Higher gauge theory I: 2-Bundles. arXiv: math/0410328.

[Bou+02]

Peter Bouwknegt, Alan L. Carey, Varghese Mathai, Michael K. Murray, and Danny Stevenson. “Twisted \(K\)-theory and \(K\)-theory of bundle gerbes”. In: Comm. Math. Phys. 228.1 (2002), pp. 17–45. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200200646.

[Bun]

Severin Bunk. \(\infty \)-Bundles. arXiv: 2308.04196.

[GS15]

Grégory Ginot and Mathieu Stiénon. “\(G\)-gerbes, principal 2-group bundles and characteristic classes”. In: J. Symplectic Geom. 13.4 (2015), pp. 1001–1047. arXiv: 0801.1238. url: https://doi.org/10.4310/JSG.2015.v13.n4.a6.

[NSS15a]

Thomas Nikolaus, Urs Schreiber, and Danny Stevenson. “Principal \(\infty \)-bundles: general theory”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.4 (2015), pp. 749–801. arXiv: 1207.0248. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0083-6.

[NSS15b]

Thomas Nikolaus, Urs Schreiber, and Danny Stevenson. “Principal \(\infty \)-bundles: presentations”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 565–622. arXiv: 1207.0249. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0077-4.

[NW13]

Thomas Nikolaus and Konrad Waldorf. “Four equivalent versions of nonabelian gerbes”. In: Pacific J. Math. 264.2 (2013), pp. 355–419. arXiv: 1103.4815. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2013.264.355.

[Woc11]

Christoph Wockel. “Principal 2-bundles and their gauge 2-groups”. In: Forum Math. 23.3 (2011), pp. 565–610. arXiv: 0803.3692. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORM.2011.020.