ファイバー束の概念の高次化が, 様々な場面で必要になってきている。 良く知られたもの, そしてかなり古くから研究されているものとして
gerbe がある。これは line bundle の高次化である。
構造群を Lie 2-group にしたものも考えられている。 Nikolaus と Waldrof の [NW] を見るとよい。 Ginot と
Stiénon [GS] は principal \(2\)-group bundle と groupoid extension との関係を調べている。
また, 高次のベクトル束は, elliptic cohomology の幾何学的構成のための候補の一つである。 ベクトル束だけでなく,
ファイバー束の高次版を考えている人もいる。 例えば [Woc11] など。
Bouknegt らの [Bou+02] では, bundle gerbe module という概念が定義され, それを用いて \(K\)-theory
の類似が定義されている。
- bundle gerbe module
- \(2\)-vector bundle
ある空間上の \(2\)-vector bundle の成す bicategory の構成については, Nikolaus と Schweigert の [NS]
がある。
\(2\)-vector bundle を 楕円コホモロジーの構成のために用いる試みについては, Baas と Dundas と Rognes の
[BDR04] がある。 その orientation や connective structure について, Kragh が [Kra]
で考えている。
- oriented \(2\)-vector bundle
楕円コホモロジーの実現のためには, conformal field theory を用いるという Segalのアイデアもあるので, conformal
field theory と \(2\)-vector bundle の関係を知る必要がある。これについては, Segal が [Seg07] の最後で少し書いているが,
それを詳しく調べたものとして, Amoreo と Devoto の [AD] がある。 Conformal field theory ではなく, 2次元の
topological quantum field theory との関係であるが。
2次元の topological quantum field theory は, 可換な Frobenius algebra と同等なので,
Frobenius algebra の bundle のようなものから, 楕円コホモロジーが作れるとうれしいわけであるが, Moore と Segal
[MS] によると, そのようなものは Frobenius manifold と同じらしい。そして Amoreo と Devoto [AD]
は, semisimple Frobenius manifold から maximal Cardy fibration を取ることにより
Baas-Dundas-Rognes の \(2\)-vector bundle ができることを示している。
高次の vector bundle 上で, gauge theory を行なおうという試みを Baez と Schreiber が [BS07]
で行なっている。
References
-
[AD]
-
Anibal Amoreo and Jorge A. Devoto. 2-vector bundles, D-branes
and Frobenius Manifolds. arXiv: 1507.08485.
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[BDR04]
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Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector
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and quantum field
theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math/0306027. url:
http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.
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[Bou+02]
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Peter Bouwknegt, Alan L. Carey, Varghese Mathai, Michael K.
Murray, and Danny Stevenson. “Twisted \(K\)-theory and \(K\)-theory of
bundle gerbes”. In: Comm. Math. Phys. 228.1 (2002), pp. 17–45.
url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200200646.
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[BS07]
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John C. Baez and Urs Schreiber. “Higher gauge theory”. In:
Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431.
Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 7–30.
arXiv: math/0511710.
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[GS]
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Gregory Ginot and Mathieu Stienon. G-gerbes, principal 2-group
bundles and characteristic classes. arXiv: 0801.1238.
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[Kra]
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Thomas Kragh. Orientations and Connective Structures on 2-vector
Bundles. arXiv: 0910.0131.
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[MS]
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Gregory W. Moore and Graeme Segal. D-branes and K-theory in 2D
topological field theory. arXiv: hep-th/0609042.
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[NS]
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Thomas Nikolaus and Christoph Schweigert. Equivariance In Higher
Geometry. arXiv: 1004.4558.
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[NW]
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Thomas Nikolaus and Konrad Waldorf. Four Equivalent Versions of
Non-Abelian Gerbes. arXiv: 1103.4815.
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[Seg07]
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Graeme Segal. “What is an elliptic object?” In: Elliptic
cohomology. Vol. 342. London Math. Soc. Lecture Note Ser.
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, pp. 306–317. url:
http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511721489.016.
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[Woc11]
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Christoph Wockel. “Principal 2-bundles and their gauge 2-groups”.
In: Forum Math. 23.3 (2011), pp. 565–610. arXiv: 0803.3692. url:
http://dx.doi.org/10.1515/FORM.2011.020.
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