Graph associahedronと関連した構成

重要な凸多面体として associahedron, cyclohedron, permutohedron が あるが, これらは一般のグラフに対する graph associahedron と呼ばれる構成の, path, cycle, 完全グラフに対応する特別の場合と考えることができる。

Carr, Devadoss, Forcey の [CDF11] によると, graph associahedron は, De Concini と Procesi の subspace arrangement の complement の wonderful model構成で最初に現われた。 その後, 様々なことと関係していることが分かってきている。上記の論文によると, wonderful model 以外に, 以下のことと関係がある:

Graph associahedron の具体的な構成としては, Devadoss の [Dev09] がある。Ma’u は [Mau] で stable quilted line with markings の moduli space の comppactification として実現できることを示している。

Carr, Devadoss, Forcey の [CDF11] は, 連結とは限らない loop や多重辺を持つ graph への一般化を構成している。その一般化により, 辺の deletion や contraction といった操作に対応する写像も構成できるようである。Devadoss と Forcey は [DF08] で multiplihedron の一般化を考えている。

  • pseudograph associahedron
  • graph multiplihedron

Devadoss, Hearth, Vipismakul [DHV11] は, 立方体から出発した graph cubeahedron という凸多面体の構成を導入している。

  • graph cubeahedron

Devadoss, Forcey, Reisdorf, Showers [Dev+] は, nestohedron を含むような一般化を考えている。

  • nestohedron
  • poset associahedron

Graph associahedron の性質は様々な面から調べられている。例えば, graph associahedron の \(1\)-skeleton のグラフとしての性質が Manneville と Pilaud [MP] により調べられている。例えば, その直径が調べられているが, これは元のグラフの不変量としてはどのような情報を持っているのだろうか。



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