ファイブレーションに関する基本的な概念

ファイブレーション (fibration) という言葉で呼ばれるものには何種類かあるが, ここでは古典的なホモトピー論で用いられているものについてまとめた。 日本語の本なら, 西田の本 [西田吾85] や私の本 [玉20] などに書いてあることである。 つまり, Serre fibration や Hurewicz fibration について, である。

まずは この2種類の fibration の定義であるが, 普通は covering homotoopy property を用いる。

  • 被覆ホモトピー性質 (covering homotopy property, CHP)
  • Hurewicz fibration (fibration)
  • Serre fibration

このページでは, この2種類の fibration を区別する必要がないときには, まとめて fibration と呼ぶことにする。 2つの fibration を比べるときには, その間の写像やその homotopy が必要である。

  • fibration
    \begin{eqnarray*} p : E & \longrightarrow & B \\ p' : E' & \longrightarrow & B' \end{eqnarray*}
    に対し \(p\) から \(p'\) へのファイバーを保つ写像
  • fibration の間ファイバーを保つ写像の間のホモトピーおよび ファイバーホモトピー同値

Fiber bundle の真似をして, (homotoopy) 局所自明性を用いて定義する流儀もある。Dold [Dol63] によると, それは numerable な被覆を持つ空間に対しては, weak covering homotopy property を用いて定義したものと同値である。

  • locally homotopy trivial fibration
  • weak covering homotopy property (WCHP)

Locally homotopy trivial fibration に対しては, Čech cocycle のような transition cocycle が考えられる。もともと James Wirth の thesis で1965年に調べられたものであるが, 最近の用語等を用いて Wirth と Stasheff がまとめたもの [WS06] がある。

  • locally homotopy trivial fibration の transition cocycle

典型的な例としては以下のものがある。

  • 基点付き空間 \(X\) に対し \(X\) 上の path-loop fibration \[ \Omega X \longrightarrow PX \longrightarrow X \] は Hurewicz fibration になる。
  • ファイバー束が Serre fibration になること。

基本的な性質としては, まずは次を知っているべきだろう。

  • 任意の連続写像は, Hurewicz fibration に変形できる, つまり 連続写像 \(f : X \to Y\) に対し \(E_f\) を \(f\) の mapping track とし
    \begin{eqnarray*} p & : & E_f \longrightarrow Y \\ i & : & X \longrightarrow E_f \\ r & : & E_f \longrightarrow X \end{eqnarray*}
    \begin{eqnarray*} p(x,\omega ) & = & \omega (1) \\ i(x) & = & (x,c_{f(x)}) \\ r(x,\omega ) & = & x \end{eqnarray*}
    で定義すると, 次が成り立つ:
    1. \(p : E_f \to Y\) は Hurewicz fibration である。
    2. \(i\)は次の図式を可換にし \[ \xymatrix{ X \ar [r]^{i} \ar [d]_{f} & E_f \ar [d]^{p} \\ Y \ar @{=}[r] & Y } \] \(f\circ r \simeq p\) である。
    3. \(i\) と \(r\) は互いに homotopy inverse である。
  • 連続写像の homotopy fiber の定義。

ここで, \(r\) は \(i\) の homotopy inverse ではあるが, fiberwise homotopy inverse ではないことに注意する。しかしながら, fiberwise homotopy inverse を見付けることはできる。

  • Fibration の写像 \[ \xymatrix{ E \ar [dr] \ar [rr]^{f} & & E' \ar [dl] \\ & B & } \] が homotopy同値写像ならば, \(f\) の homotopy inverse として fibration の写像であるものが取れる。更に fiberwise homotopy inverse であるように取ることもできる。

この事実は [May99] にある。これを用いると次が証明できる。

  • 底空間が弧状連結ならば, Hurewicz fibration の fiber はすべて同じホモトピー型を持つ。
  • Hurewicz fibration を互いに homotopic な2つ写像で pull-back を取ると, できた fibration は fiberwise homotopy 同値。
  • \(p : E \to B\) が Hurewicz fibration ならば, \(p\) を fibration に取り換えてできた fibration \[ E_p \longrightarrow B \] は元の fibration と fiber homotopy同値

これらは次を使っても証明できる。

  • \(p : E \to B\) が Hurewicz fibration であるための必要十分条件は, \(\lambda \circ \xi = 1_{E_p}\) をみたす写像 \[ \xi : E_p \longrightarrow \mathrm{Map}(I,E) \] が存在すること。ただし \(E_p\) は \(p\) の mapping track であり \[ \lambda : \mathrm{Map}(I,E) \longrightarrow E_p \] は \[ \lambda (\omega ) = (\omega (0), p\circ \omega ) \] で定義される写像。[Hur55; Hue55]

Serre fibration については次が成り立つ。

  • 底空間が弧状連結ならば, Serre fibration の fiber は, すべて同じ弱ホモトピー型を持つ。

他に知っているべきなのは以下のこと。

  • cofibration に対し, covering homotopy extension property を持つ。[Has74]
  • Hurewicz あるいは Serre fibration の連続写像による pull-back は, また Hurewicz あるいは Serre fibration になること。
  • Serre fibration, よって Hurewicz fibration に対するホモトピー群の長い完全列がある。
  • 連続写像 \[ f : X \longrightarrow Y \] は fibration の列 \[ \cdots \longrightarrow \Omega X \rarrow{\Omega f} \Omega Y \longrightarrow F_f \longrightarrow X \rarrow{f} Y \] に拡張できること。
  • Hurewicz fibration の fiberwise join は Hurewicz fibration になる。

この最後の事実は, 位相空間の圏の Strøm モデル構造で, functorial factorization の存在を示すために用いられている。

References

[Dol63]

Albrecht Dold. “Partitions of unity in the theory of fibrations”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 223–255.

[Has74]

Harold M. Hastings. “Fibrations of compactly generated spaces”. In: Michigan Math. J. 21 (1974), 243–251 (1975).

[Hue55]

William Huebsch. “On the covering homotopy theorem”. In: Ann. of Math. (2) 61 (1955), pp. 555–563.

[Hur55]

Witold Hurewicz. “On the concept of fiber space”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 41 (1955), pp. 956–961.

[May99]

J. P. May. A concise course in algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999, pp. x+243. isbn: 0-226-51182-0.

[WS06]

James Wirth and Jim Stasheff. “Homotopy transition cocycles”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 1.1 (2006), pp. 273–283. arXiv: math/0609220.

[玉20]

玉木大. ファイバー束とホモトピー. 森北出版, 2020, p. 320. isbn: 978-4-627-05461-5.

[西田吾85]

西田吾郎. ホモトピー論. Vol. 16. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1985.