Directed Space

並列処理の理論 の topological model として directed space と呼ばれるものがある。 Grandis [Gra03; Gra02] により導入された。 Grandis の本 [Gra09] がある。 Fajstrup, Goubault, Haucourt, Mimram, Raussen の [Faj+16] や Raussen の論文 [Rau07] もみるとよい。

定義は簡単で, 位相空間 \(X\) の中で「使ってもよい道」を指定するだけである。

Definition 1. A directed topological space or d-space is a pair \((X,dX)\) of a topological space \(X\) and a subset \(dX\) of \(\category{Top}([0,1],X)\) satisfying the following properties:

  1. For any \(x\in X\), the constant path \(c_{x}:[0,1]\to X\) to \(x\) belongs to \(dX\).
  2. \(dX\) is closed under composition with order preserving maps \([0,1]\to [0,1]\).
  3. \(dX\) is closed under concatenation of paths.

Paths in \(dX\) are called directed paths or d-paths. The set \(dX\) is called a d-structure on \(X\).

定義としては, Moore path を使うこともできる。あまりそのような文献は, 見当らないが。

d-space の間の morphism は, 当然, d-structure を保つ連続写像である。 閉区間 \([0,1]\) の d-structure として, 順序を保つ道を指定したものを \(\overrightarrow{I}\) と表すと, d-space \(X\) に対し, \(X\) の d-path とは, d-space の morphism \(\overrightarrow{I}\to X\) のことである。

この向きの指定された区間 \(\overrightarrow{I}\) は, d-space の morphism の間にホモトピーを定義するときにも使うことができるが, そのホモトピーは同値関係を定めない。 通常の区間 \([0,1]\) をパラメータに使ったホモトピーも当然定義され, それは同値関係を定める。

  • directed homotopy

ホモトピーが定義されれば, それを用いてホモトピー同値が定義できるが, Raussen [Rau21] は, 単純に位相空間の場合のホモトピーを directed homotopy に変えただけの定義では問題があることを指摘し, 新たに directed homotopy equivalence を定義している。 そして, それが two-out-of-three をみたすことを示している。

  • directed homotopy equivalence

ホモロジーの directed 版は, Dubut と Goubault と Goubault-Larrecq [DGG17] により考えられている。

  • directed homology

基本群の類似は, fundamental category である。Grandis の [Gra03] で既に導入されている。

他の concurrency の topological model, 例えば (local) pospace から, directed space を構成することもできる。 Lee と Yetter [LY] は, stratified space から, local pospace を作ることにより, directed space を構成している。



Jérémy Dubut, Eric Goubault, and Jean Goubault-Larrecq. “Directed homology theories and Eilenberg-Steenrod axioms”. In: Appl. Categ. Structures 25.5 (2017), pp. 775–807. url:


Lisbeth Fajstrup, Eric Goubault, Emmanuel Haucourt, Samuel Mimram, and Martin Raussen. Directed algebraic topology and concurrency. With a foreword by Maurice Herlihy. Springer, [Cham], 2016, pp. xi+167. isbn: 978-3-319-15397-1; 978-3-319-15398-8. url:


Marco Grandis. “Directed homotopy theory. II. Homotopy constructs”. In: Theory Appl. Categ. 10 (2002), No. 14, 369–391.


Marco Grandis. “Directed homotopy theory. I”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 44.4 (2003), pp. 281–316.


Marco Grandis. Directed algebraic topology. Vol. 13. New Mathematical Monographs. Models of non-reversible worlds. Cambridge: Cambridge University Press, 2009, pp. x+434. isbn: 978-0-521-76036-2. url:


I. J. Lee and D. N. Yetter. Stratified spaces, Directed Algebraic Topology, and State-Sum TQFTs. arXiv: 1807.07910.


Martin Raussen. “Invariants of directed spaces”. In: Appl. Categ. Structures 15.4 (2007), pp. 355–386. url:


Martin Raussen. “Inessential directed maps and directed homotopy equivalences”. In: Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 151.4 (2021), pp. 1383–1406. arXiv: 1906.09031. url: