Dg category のホモトピー論を展開する方法として, まず dg category の category に model structure
を定義する, という方法がある。 これは, Tabuada の [Tabc; Taba] が調べ始めたもの, だと思う。これらについては, Tabuada
の thesis [Tabb] に収められているので, それを見るのが便利である。まずは, Keller の解説 [Kel06] の §4 を読んでから
Tabuada の論文を読むのがよいだろう。Toën [Toë07] も dg category の model category
の構造を調べている。[Tab10a] では, simplicial category と比較 するために, positively graded dg category
の category の model structure を定義している。
ただ, dg category の category での weak equivalence には3つの自然な候補がある。ホモトピー圏を取ってできる
category が同値 (quasi-equivalence), triangulated hull が triangulated category として同値
(quasi-equiconic equivalence), derived category が triangulated category として同値
(Morita equivalence), の3つである。 これらについては, Cisinski と Tabuada の [CT11] を見てから,
より詳しい文献を見るのがよいかもしれない。
- dg category の triagulated hull
- dg category の derived category
- quasi-equivalence model structure
- Morita model structure
- quasi-equiconic model structure
- positively graded dg category の category の model structure
Dg category の triangulated hull は Bondal と Kapranov の [BK90] で導入されたものである。
他にも, Holstein [Hol14] による Dwyer-Kan model structure もある。
- Dwyer-Kan model structure
Model structure 以外に, dg category 全体を \((\infty ,1)\)-category と考える方法もある。 Toën と Vezzosi の
[TV] である。
個別の dg category に対しては, small category のように nerve を考えることができる。
できたものが, quasicategory になることも small category の場合と同様である。
他にも, simplicial category や spectral category を作る方法もある。 それぞれ, Tabuada の [Tab10a]
と [Tab10b] で調べられている。
References
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[BK90]
-
A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”.
In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.
-
[CT11]
-
Denis-Charles Cisinski and
Gonçalo Tabuada. “Non-connective \(K\)-theory via universal invariants”.
In: Compos. Math. 147.4 (2011), pp. 1281–1320. arXiv: 0903.3717.
url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X11005380.
-
[Hol14]
-
Julian V. S. Holstein. “Properness and simplicial resolutions in the
model category dgCat”. In: Homology Homotopy Appl. 16.2 (2014),
pp. 263–273. arXiv: 1403.4381. url:
https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n2.a14.
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[Kel06]
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Bernhard Keller. “On differential graded categories”. In:
International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc.,
Zürich, 2006, pp. 151–190. arXiv: math/0601185.
-
[Taba]
-
Goncalo Tabuada. A new Quillen model for the Morita homotopy
theory of DG categories. arXiv: math/0701205.
-
[Tabb]
-
Goncalo Tabuada. Théorie homotopique des DG-catégories. arXiv:
0710.4303.
-
[Tabc]
-
Goncalo Tabuada. Une structure de categorie de modeles de Quillen
sur la categorie des dg-categories. arXiv: math/0407338.
-
[Tab10a]
-
Gonçalo Tabuada. “Differential graded versus simplicial categories”.
In: Topology Appl. 157.3 (2010), pp. 563–593. arXiv: 0711.3845. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2009.10.015.
-
[Tab10b]
-
Gonçalo Tabuada. “Generalized spectral
categories, topological Hochschild homology and trace maps”. In:
Algebr. Geom. Topol. 10.1 (2010), pp. 137–213. arXiv: 0804.2791.
url: https://doi.org/10.2140/agt.2010.10.137.
-
[Toë07]
-
Bertrand Toën.
“The homotopy theory of \(dg\)-categories and derived Morita theory”. In:
Invent. Math. 167.3 (2007), pp. 615–667. arXiv: math/0408337. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00222-006-0025-y.
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[TV]
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Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Trace and Kunneth formulas
for singularity categories and applications. arXiv: 1710.05902.
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