Homotopy Theory of DG Categories

Dg category のホモトピー論を展開する方法として, まず dg category の category に model structure を定義する, という方法がある。 これは, Tabuada の [Tabc; Taba] が調べ始めたもの, だと思う。これらについては, Tabuada の thesis [Tabb] に収められているので, それを見るのが便利である。まずは, Keller の解説 [Kel06] の §4 を読んでから Tabuada の論文を読むのがよいだろう。Toën [Toë07] も dg category の model category の構造を調べている。[Tab10a] では, simplicial category と比較 するために, positively graded dg category の category の model structure を定義している。

ただ, dg category の category での weak equivalence には3つの自然な候補がある。ホモトピー圏を取ってできる category が同値 (quasi-equivalence), triangulated hull が triangulated category として同値 (quasi-equiconic equivalence), derived category が triangulated category として同値 (Morita equivalence), の3つである。 これらについては, Cisinski と Tabuada の [CT11] を見てから, より詳しい文献を見るのがよいかもしれない。

• dg category の triagulated hull
• dg category の derived category
• quasi-equivalence model structure あるいは Dwyer-Kan model structure
• Morita model structure
• quasi-equiconic model structure
• positively graded dg category の category の model structure

Dg category の triangulated hull は Bondal と Kapranov の [BK90] で導入されたものである。

Quasi-equivalence を weak equivalence とする model structure は, Dwyer-Kan model structure とも呼ばれる。 Simplicial category に対し Dwyer と Kan [DK80] により定義された model structure の類似だからである。

Model structure 以外に, dg category 全体を \((\infty ,1)\)-category と考える方法もある。 Toën と Vezzosi の [TV22] である。

個別の dg category に対しては, small category のように nerve を考えることができる。

• dg nerve

できたものが, quasicategory になることも small category の場合と同様である。

他にも, simplicial category や spectral category を作る方法もある。 それぞれ, Tabuada の [Tab10a] と [Tab10b] で調べられている。

References

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[CT11]

Denis-Charles Cisinski and Gonçalo Tabuada. “Non-connective \(K\)-theory via universal invariants”. In: Compos. Math. 147.4 (2011), pp. 1281–1320. arXiv: 0903.3717. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X11005380.

[DK80]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Simplicial localizations of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 17.3 (1980), pp. 267–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90049-3.

[Kel06]

Bernhard Keller. “On differential graded categories”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 151–190. arXiv: math/0601185.

[Taba]

Goncalo Tabuada. A new Quillen model for the Morita homotopy theory of DG categories. arXiv: math/0701205.

[Tabb]

Goncalo Tabuada. Théorie homotopique des DG-catégories. arXiv: 0710.4303.

[Tabc]

Goncalo Tabuada. Une structure de categorie de modeles de Quillen sur la categorie des dg-categories. arXiv: math/0407338.

[Tab10a]

Gonçalo Tabuada. “Differential graded versus simplicial categories”. In: Topology Appl. 157.3 (2010), pp. 563–593. arXiv: 0711.3845. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2009.10.015.

[Tab10b]

Gonçalo Tabuada. “Generalized spectral categories, topological Hochschild homology and trace maps”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.1 (2010), pp. 137–213. arXiv: 0804 . 2791. url: https://doi.org/10.2140/agt.2010.10.137.

[Toë07]

Bertrand Toën. “The homotopy theory of \(dg\)-categories and derived Morita theory”. In: Invent. Math. 167.3 (2007), pp. 615–667. arXiv: math / 0408337. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-006-0025-y.

[TV22]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Trace and Künneth formulas for singularity categories and applications”. In: Compos. Math. 158.3 (2022), pp. 483–528. arXiv: 1710 . 05902. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X22007424.