Deformation Quantization

Bressler らの [Bre+07] によると, Poisson manifold の deformation quantization は, Flatoら の [Bay+78b; Bay+78a] で導入されたものらしい。その著者の一人の Sternheimer がいくつか解説を書いている。 [Ste98] や [DS02] などである。 Sternheimer によると, quantum mechanics を deformed classical mechanics とみなすというのは, ほとんどの物理学者が思っていたことのようであるが, それを理論として確立したのが deformation quantization である。

Hannabuss と Mathai [HM10] によると, deformation quantization には formal なものと strict なものがある。前者は収束を考えないもの, 後者は Rieffel [Rie93] により operator algebra を用いて構築された理論である。

Formal なものの解説で 簡潔に書かれたものとして, Markl の lecture note [DMZ] がある。

現在では, Poisson manifold の deformation quantization については, Kontsevich の formality theorem [Kon99] から考えるのがよいようである。Kontsevich は, [Kon03] で全ての Poisson manifold は, deformation quantization を持つことを証明した。

Kontsevich は operad などの道具を使っているが, [Kon99] には

I use all the time the language of operads and of homotopy theory of algebraic structures. For me it seems to be the first real application of operads to algebraic questions.

と書かれている。Merkulov は [Mer] で別証を与えている。 それには PROP が用いられている。 Symplectic groupoid による Poisson manifold の deformation quantization の formal version が [CDF05] にある。

Dito と Sternheimer の survey [DS02] でも, 代数多様体の deformation quantization について触れられているが, 代数幾何の視点からも興味深いことはあるようである。Kontsevich が [Kon01] という論文 を書いている。Complex analytic space については, Palomodov の [Pal] がある。他に, Poisson manifold の deformation quantization が代数幾何でどこまでできるか考えているものとして, Yekutieli の [Yek05] がある。

Deformation quantization は, もちろん代数的な deformation theory と深い関係にある。

Floer homology も関連した概念である。

Symplectic bundle の structure group (fiber の symplectomorphism群)を Hamiltonian automorphism かそれに類する群に reduce する際には, gerbe や \(2\)-gerbe の言葉を使う [Ari08] といいらしい。

Gerbestack の deformation quantization については, Bressler と Gorokhovsky と Nest と Tsygan が, [Bre+07] で研究を始めたようである。[Bre+08] によると, Deligne (\(2\)-)groupoid との関係が示されている。

Derived algebraic geometry\((\infty ,1)\)-cateory を用いた approach は, Toën の [Toë] や Gwilliam と Haugseng の [GH] などで考えられている。

References

[Ari08]

Tsemo Aristide. “Gerbes, 2-gerbes and symplectic fibrations”. In: Rocky Mountain J. Math. 38.3 (2008), pp. 727–777. arXiv: math/0504274. url: https://doi.org/10.1216/RMJ-2008-38-3-727.

[Bay+78a]

F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Sternheimer. “Deformation theory and quantization. I. Deformations of symplectic structures”. In: Ann. Physics 111.1 (1978), pp. 61–110.

[Bay+78b]

F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Sternheimer. “Deformation theory and quantization. II. Physical applications”. In: Ann. Physics 111.1 (1978), pp. 111–151.

[Bre+07]

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky, Ryszard Nest, and Boris Tsygan. “Deformation quantization of gerbes”. In: Adv. Math. 214.1 (2007), pp. 230–266. arXiv: math/0512136. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.02.002.

[Bre+08]

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky, Ryszard Nest, and Boris Tsygan. “Deformations of gerbes on smooth manifolds”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 349–392. arXiv: math/0701380. url: http://dx.doi.org/10.4171/060-1/11.

[CDF05]

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[DMZ]

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[DS02]

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[GH]

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[HM10]

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[Kon01]

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[Kon03]

Maxim Kontsevich. “Deformation quantization of Poisson manifolds”. In: Lett. Math. Phys. 66.3 (2003), pp. 157–216. arXiv: q-alg/9709040. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf.

[Kon99]

Maxim Kontsevich. “Operads and motives in deformation quantization”. In: Lett. Math. Phys. 48.1 (1999). Moshé Flato (1937–1998), pp. 35–72. arXiv: math/9904055. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007555725247.

[Mer]

S. A. Merkulov. PROP profile of deformation quantization and graph complexes with loops and wheels. arXiv: math/0412257.

[Pal]

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[Rie93]

Marc A. Rieffel. “Deformation quantization for actions of \(\mathbf{R}^d\)”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 106.506 (1993), pp. x+93.

[Ste98]

Daniel Sternheimer. “Deformation quantization: twenty years after”. In: Particles, fields, and gravitation (Łódź, 1998). Vol. 453. AIP Conf. Proc. Woodbury, NY: Amer. Inst. Phys., 1998, pp. 107–145. arXiv: math/9809056.

[Toë]

Bertrand Toën. Derived Algebraic Geometry and Deformation Quantization. arXiv: 1403.6995.

[Yek05]

Amnon Yekutieli. “Deformation quantization in algebraic geometry”. In: Adv. Math. 198.1 (2005), pp. 383–432. arXiv: math/0310399. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.06.009.