胞体複体についての基本的なことがら

CW複体は, かつて古典的な代数的トポロジーの中心的な研究対象だったが, 現在でも, 色んな意味で, CW複体や胞体複体のことを知っていると便利である。また, Kozlov らの combinatorial algebraic topology のように, 代数的トポロジーの道具を, 組み合せ論の問題に応用しようと考えるときには, 胞体複体, 特に, regular cell complex は重要である。

胞体複体やCW複体の定義や基本的な性質は, たいていの代数的トポロジーの教科書に載っているはずである。個人的には, Fomenko, Fuks, Gutenmacher の本 [FFG89] が好きである。証明は曖昧なところもあるが, 幾何学的であり, CW複体を扱うよい練習になる。 正確には, Whitehead の本 [Whi78] を読むのがいいと思うが。 CW複体についてまとめた本としては, [LW69] や [FP90] があるが, 私はちゃんと読んだことがない。 Whitehead の本や May の concise course [May99] のCW複体の扱いは現代的であり, [小中菅67] などの古い本のものとは少し異なっている。

これらの代数的トポロジーの文献では, regular cell complex やその face poset について触れられていない場合が多いので, Kozlov 本 [Koz08] や Björner の [Bjö95] で補うとよい。

  • 胞体 (cell) とその 特性写像 (characteristic map) の定義
  • 胞体複体 (cell complex) の定義
  • 胞体複体の skeleton の定義
  • 部分複体 (subcomplex) の定義
  • 有限複体 (finite complex) の定義
  • 局所有限 (locally finite) であることの定義
  • 局所可算 (locally countable) であることの定義
  • (古典的な) CW複体の定義
  • 局所有限な胞体複体はCW複体である

古典的なCW複体の欠点は, 例えば, 2つのCW複体の直積がCW複体になるとは限らないことである。 直積をCW複体とみなすためには, 局所有限性や局所可算性の条件をつけるか, または位相をとりかえなければならない。 例えば [小中菅67] の第2章定理1.11を見るとよい。

  • CW複体 \(X\) と \(Y\) に対し, \(X\) が局所有限ならば, \(X\times Y\) もCW複体
  • CW複体 \(X\) と \(Y\) が共に局所可算ならば, \(X\times Y\) もCW複体
  • CW複体の直積がCW複体にならない例 [Dow52]
  • CW複体 \(X\) と \(Y\) に対し, \(X\times Y\) に閉被覆 \(\set{\bar{e}_1\times \bar{e}_2}{e_1: \text{cell in $X$}, e_2: \text{cell in $Y$}}\) による弱位相を入れると, CW複体になる

Tanaka [Tan82] によると, 連続体仮説を仮定すると, \(X\times Y\) がCW複体になるための必要十分条件は, \(X\) または \(Y\) が局所有限か, または \(X\) と \(Y\) が共に局所可算であることである。これは, Liu [Liu78] の結果らしい。

現代的には, 胞体の閉包の直積による弱位相ではなく, コンパクト生成位相を持った位相空間の圏で考える。 詳しくは, Whitehead の本 [Whi78] を参照のこと。

  • コンパクト生成位相を持った空間での filtration によるCW複体の定義
  • 相対CW複体 (relative CW complex) の定義

ホモトピー論では, CW複体を考えれば十分であることの根拠は以下のもの。 May の Concise Course [May99] には, 相対版も含め簡潔にまとめてある。

  • 胞体写像 (cellular map) の定義
  • 胞体近似定理。つまりCW複体の間の任意の連続写像に対し, その写像と homotopic な胞体写像が存在する。
  • 胞体近似定理の相対版
  • 任意の位相空間はCW複体の弱ホモトピー型を持つ。

最後の, 位相空間をCW複体で置き換える方法としては, Hirschhorn [Hir] による functorial な構成がある。

また,具体的に与えられた空間に対し, それとホモトピー同値な\(CW\)複体で, できるだけ小さなものを見付けられるとうれしい。 そのようなものが存在する代表は, 複素 hyperplane arrangement の補集合 である。

具体的な胞体分割を用いた議論をするときには, CW複体の条件だけでは不十分な場合もある。そのようなときは, 胞体がつぶれていないようなもの, つまり regular なもの, を考える方がよい。[Whi78]

Regular cell complex について重要なことは, その face poset が本質的な情報を全て持っていることである

  • regular CW complex の face poset の order complex は, 元の複体の重心細分である。

この事実は, regular ではない CW complex にも拡張できるが, その際に [Tam18] で定義された cylindrically normal という構造が必要になる。これは, cell complex より一般的な, cellular stratification に対し定義される。

その他, CW複体については, とりあえず以下のことを知っていればよいだろう。

  • \(X\) を CW複体とし \(\Lambda _n\) を\(X\)の\(n\)胞体の集合とする。すると, 各 \(n>0\) に対し次の同相がある \[ X^{(n)}/X^{(n-1)} \cong \bigvee _{e \in \Lambda _n} S^n_e \] ここで \(S^n_e\) は\(n\)次元球面 \(S^n\) のコピーである。
  • \(X\) がCW複体で \(A\) が \(X\) の部分複体ならば, 包含写像 \[ i : A \hookrightarrow X \] は, cofibration になる。 つまり, \(i\) は, 任意の連続写像に対し, ホモトピー拡張性質を持つ。 言い換えれば, \((X,A)\) は, NDR対になる。
  • CW複体 \(X\) に対し, その cellular chain complex \(C_*(X)\) の定義。
  • CW複体 \(X\) の cellular chain complex のホモロジーと\(X\)の特異ホモロジーは一致する。

ホモロジーを取ると基本群の情報がかなり失われてしまうが, CW複体の場合, cellular chain complex の段階で考えると, 基本群の情報も扱うことができる。つまり, その普遍被覆の cellular chain complex を考え, それと基本群の作用を合わせて考えるのである。

  • CW複体の被覆空間は自然なCW複体の構造を持つ
  • CW複体 \(X\) について, \(\pi _1(X)\)-module としての \(C_*(\widetilde{X})\)

References

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[Tan82]

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[Whi78]

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[小中菅67]

小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.