DG category の category の構造

Dg categoryのcategoryでは, 様々な構成ができる。 Monoidal categoryenrich された category 一般に対してできる構成は, 当然できる。Pretriangulated dg category は triangulated category の元になっているデータと考えることができるので, triangulated category に対する構成の lift を考えるのは当然である。もちろん, dg category でないとできない構成もある。

まず, monoidal structure であるが, tensor product が定義され, symmetric monoidal category になる。また internal hom も持つ。

  • dg category の tensor product
  • dg category の internal hom

Triangulated category の Verdier quotient の dg category における類似を考えることは Keller により [Kel99] で始められ, Drinfel\('\)d が [Dri04] で構成を与えた。この Drinfel\('\)d の論文は, self-contained に書かれていて, dg category を手っ取り早く学ぶのにもよい。

  • dg category の quotient

Tabuada は [Tab09] で Drinfel\('\)d の dg quotient に inspire さ れて dg category の Postnikov tower などを定義している。

  • dg category の Postnikov tower

ホモトピー論的な構成の類似を行なおうとすると, model category の構造が必要になる。 他にも \((\infty ,1)\)-category と考える手もあるが。

“categoryのcategory”なので, dg category の category の \(2\)-category の構造を調べるのは自然であるし, 実際 “natural transformation の成す chain complex” を定義することもできる。 しかしながら, Tamarkin [Tam07] によると, それは dg category の category の model structure と相性が良くないらしい。 Drinfel\('\)d も [Dri04] の Appendix V で dg category の \(2\)-category について考察している。

Tamarkin は dg category の間の二つの functor \(F, G : A \to B\) に対し \(F\) から \(G\) への natural transformation の成す complex の “derived version” を定義している。そしてそれにより dg category の category が “homotopy \(2\)-category” になることを示している。そこには colored \(2\)-operad という operad (multicategory) の higher version も登場する。

References

[Dri04]

Vladimir Drinfeld. “DG quotients of DG categories”. In: J. Algebra 272.2 (2004), pp. 643–691. arXiv: math/0210114. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2003.05.001.

[Kel99]

Bernhard Keller. “On the cyclic homology of exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 136.1 (1999), pp. 1–56. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(97)00152-7.

[Tab09]

Gonçalo Tabuada. “Postnikov towers, \(k\)-invariants and obstruction theory for dg categories”. In: J. Algebra 321.12 (2009), pp. 3850–3877. arXiv: 0805.4483. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.03.018.

[Tam07]

Dmitry Tamarkin. “What do dg-categories form?” In: Compos. Math. 143.5 (2007), pp. 1335–1358. arXiv: math/0606553. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07002771.