Abel圏でのホモロジー代数

Abel圏については, Freyd の本 [Fre64] がある。 Theorey and Applications of Categories の reprint として PDF ファイルが入手できるようになった。

Chain complex やそのホモロジーを扱う際には, 図式を描いて diagram chasing するのが普通である。つまり元を一つ取って, その元を準同形でうつして, 完全性や図式の可換性を使って命題を証明するのである。

ところが, そのような命題は, 実は元を取らないでも証明できることが多い。 そこで元を取るのが難しい圏においてもホモロジー代数を行なうために, Abel圏の概念が導入された。普通は additive category で, kernel と cokernel に関するある条件をみたすものとして定義するので, まずは, additive category と kernel, cokernel の概念を理解しないといけない。

Janelidze と Márki と Tholen の [JMT02] によると, factorization system の言葉を用いると Abelian category の定義は簡潔に述べられるようである。

  • factorization system を用いた Abelian category の特徴付け

Abel圏の必要性を理解するためにはいくつか例を知っているとよい。 中でも重要なのはの圏である。

  • ある位相空間上の Abel群のの圏が, Abel圏になること。

あるAbel圏における可換図式は, そのAbel圏の small subcategory に他ならないが, 任意の Abel圏の small subcategory は, ある環上の加群の圏に埋め込むことができるのである。 つまり, どんな抽象的なAbel圏であっても「元を取って diagram chasing する」ことができる。

  • 任意の small Abel圏は, ある環上の module の圏に fully faithful に埋め込むことができる。

この定理は, ほぼ同時期に複数の人によって証明されたようである。例えば, [Lub60; Mit64] など。 また Freyd のAbel圏の本 [Fre64] は, この定理を最終目標にしている。

Small Abel圏は, 幾何学的対象の不変量としても現れる。例えば, ある代数多様体上の coherent sheaf のなす圏など。その derived category を考える場合が多いが。よって small Abelain category や derived category の不変量があれば, 幾何学的対象の不変量が得られる。

Small Abel圏の不変量としては, Hall algebra (Ringel-Hall algebra) というものがある。

ホモロジー代数を行なうためには, 以下の概念が必要である。

  • injective object
  • Abel圏が enough injectives を持つこと
  • projective object
  • Abel圏が enough projectives を持つこと

Frobenius環上の module の成す圏のように projectives と injectives が一致する場合もある。

ホモロジー代数を行なうためには, もちろん, 完全列の概念も必要である。 Abel圏の定義から, short exact sequence が基本的であるが, より限定された列のみ exact と考える場合がある。 例えば, 可換環 \(k\) 上の algebra \(A\) が与えられたとき, \(k\)上 split するような \(A\)-module の short exact sequence のみ “exact” と考えたりする。このような状況を扱うために, Mac Lane [Mac95] は XII§4 で proper class of extensions という概念を導入した。 これは, Hovey [Hov02] により, Abel圏上の model structure を調べる際に用いられている。 今では, exact category で考えるのが普通だろう。

モデル圏は, Quillen [Qui67] により定義された概念であり, Quillen は, モデル圏で議論をすることを homotopical algebra と言った。 代数的トポロジーの観点からは, homological algebra を行なう際にも, できるだけ homotopical algebra の言葉で理解するようにした方がよいかもしれない。例えば, Goerss と Schemmerhorm の [GS07] を見るとよい。

任意の colimit で閉じていて, filtered colimit と finite limit が可換, そしてある object の族で生成されているような Abel圏を Grothendieck category あるいは Grothendieck Abelian category という。 解説として, Garkusha の [Gar01] がある。

任意の colimit で閉じているが, limit で閉じていない Abel圏の例があるか, という MathOverflow の質問は, 2012年に登場して以来しばらく誰も回答できなかったが, 2014年に Rickard が反例を見付けた。それが論文になったのが [Ric] である。

Grothendieck と Verdier [Ver96] は, ホモロジー代数を行なう際には, ホモロジーを取るべきではない, ということに気づいた。より正確に言えば, Abel圏 \(\mathcal {A}\) のobject \(M\) を調べるときに, その resolution \(0 \to M \to C^{\bullet }\) を取り, functor \(F\) を apply してから homology を取る \[ M \Longrightarrow C^* \Longrightarrow F(C^*) \Longrightarrow H(F(C^*)) \] という流れの中で, ホモロジーを取る前の chain complex (resolution) の level で考える方が自然である, ということである。 そのために定義されたのがAbel圏の導来圏であり, その抽象化としての triangulated category である。

導来圏を定義するときには quasi-isomorphism を同型とみなすが, 代数的トポロジーの視点からは, その同一視を行なう前の段階で考えた方が自然である。

Abel圏の一般化や変種として以下のようなものがある。

これらの一般化では, pre-additivity, つまりAbel群の category で enrichされていることを仮定しているが, Deitmer [Dei] は, \(\F _1\)上のホモロジー代数を開発するために, pre-additive とは限らないが, kernel cokernel を持つような圏でのホモロジー代数について考えている。Deitmer は, そのような圏を Belian category と呼んでいる。

  • Belian category

Abel圏の高次化としては, Nakaoka の [Nak08]がある。M. Dupont の [Dup] もある。 それらの比較が [Nak10] で行なわれている。

References

[Dei]

Anton Deitmar. Belian categories. arXiv: 1105.5290.

[Dup]

Mathieu Dupont. Abelian categories in dimension 2. arXiv: 0809. 1760.

[Fre64]

Peter Freyd. Abelian categories. An introduction to the theory of functors. Harper’s Series in Modern Mathematics. New York: Harper & Row Publishers, 1964, pp. xi+164.

[Gar01]

G. A. Garkusha. “Grothendieck categories”. In: Algebra i Analiz 13.2 (2001), pp. 1–68. arXiv: math/9909030.

[GS07]

Paul Goerss and Kristen Schemmerhorn. “Model categories and simplicial methods”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 3–49. arXiv: math / 0609537. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08403.

[Hov02]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.

[JMT02]

George Janelidze, László Márki, and Walter Tholen. “Semi-abelian categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 168.2-3 (2002). Category theory 1999 (Coimbra), pp. 367–386. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00103-7.

[Lub60]

Saul Lubkin. “Imbedding of abelian categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960), pp. 410–417.

[Mac95]

Saunders Mac Lane. Homology. Classics in Mathematics. Reprint of the 1975 edition. Berlin: Springer-Verlag, 1995, pp. x+422. isbn: 3-540-58662-8.

[Mit64]

Barry Mitchell. “The full imbedding theorem”. In: Amer. J. Math. 86 (1964), pp. 619–637. url: http://dx.doi.org/10.2307/2373027.

[Nak08]

Hiroyuki Nakaoka. “Cohomology theory in \(2\)-categories”. In: Theory Appl. Categ. 20 (2008), No. 16, 543–604.

[Nak10]

Hiroyuki Nakaoka. “Comparison of the definitions of abelian \(2\)-categories”. In: Tsukuba J. Math. 34.2 (2010), pp. 173–182. arXiv: 0904.0078.

[Qui67]

Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics, No. 43. Berlin: Springer-Verlag, 1967, iv 156 pp. (not consecutively paged).

[Ric]

Jeremy Rickard. A cocomplete but not complete abelian category. arXiv: 1805.10682.

[Ver96]

Jean-Louis Verdier. “Des catégories dérivées des catégories abéliennes”. In: Astérisque 239 (1996). With a preface by Luc Illusie, Edited and with a note by Georges Maltsiniotis, xii+253 pp. (1997).