Abelian category に関する条件として, Grothendieck が [Gro57] で導入した AB1 から AB6
がある。AB1 と AB2 は Abelian category のための条件であるが, 残りの条件の中で, 現在最も良く使れるのは, filtered
colimit と finite limit が可換であるという AB5 だろう。Grothendieck は colimit や limit
という言葉は使っていないが。 もっとも, AB3 は直和で閉じているということなので, Abelian category では colimit
で閉じているということと同値であり, cocomplete という言い方の方が一般的だろう。
この AB3 と AB5, そして generator を持つという3つの条件をみたすものを Grothendieck Abelian
category あるいは Grothendieck category という。 解説として, Garkusha の [Gar01] がある。
「自然な」 Abelian category の例は, Grothendieck category になっていることが多い。例えば, 環上の加群の
category とか scheme 上の quasicoherent sheaf の category とか。
基本的な性質として, locally presentable である, というものがある。Beke の [Bek00] など。
有名な定理として, 加群の category との関係を述べる Gabriel-Popescu theorem [PG64] がある。
Grothendieck category 全体の \(2\)-category の構造を考えている人もいる。 Stafford と Van den Bergh
[SB01] や Rosenberg [Ros98] は morphism として left adjoint を用いている。 Kontsevich と
Rosenberg [KR] は left exact left adjoint を morphism としている。
Monoidal structure を考えているものとして, [BC14], [Bra], [LG] などがある。
Grothendieck category の一般化としては, 例えば presentable stable \(\infty \)-category がある。 Lurie は
[Lur] で Gabriel-Popescu theorem の \(\infty \)-category 版を証明している。
Imamura [Ima] による enriched version もある。
- enriched Abelian category
References
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