Schubert Calculus

Schubert calculus の起源は, その名の通り Schubert の仕事 [Sch79] であり, enumerative algebraic geometry の問題であったが, その後 Schubert variety の intersection の問題に翻訳された。 現在では, Grassmann 多様体のコホモロジーの環構造として考えられることが多いように思う。

第6回の East Asian Conference on Algebraic Topology での Haibao Duan さんの講演によると, Schubert の議論を厳密なものにしたのは, van der Waerden [Wae30] のようである。

Schubert calculus についての survey としては, ちょっと古いが, 例えば, Kleiman と Laksov の [KL72] がある。 Gillespie による tutorial [Gil19] もある。 Fujita [Fuj22] は, Schubert calculus の歴史について, [KST12; KM05; Man01] を参照している。

Grassmann 多様体のコホモロジーの問題とみなすと, Lam らの本 [Lam+14] に書かれているように, Schubert calculus の一般化には2つの方向が考えられる。

1つは, Grassmannian 多様体をその一般化である flag variety などにすることであり, 例えば Lam 達の本は affine Grassmann 多様体での Schubert calculus を考えたものである。

もう1つの方向としては, cohomology を他の cohomology にすることである。 代数的トポロジーの視点からは, \(K\)-theory などの generalized cohomology theory にすることをまず思いつくが, それを最初に考えたのは Bressler と Evens [BE90] のようである。 その後, 様々な generalized cohomology theory で考えられている。

• \(K\)-theory [BE90]
• complex cobordism [BE92]
• algebraic cobordism [HK11]
• elliptic cohomology [Gan14; LZ17; LZ]

References

[BE90]

Paul Bressler and Sam Evens. “The Schubert calculus, braid relations, and generalized cohomology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 317.2 (1990), pp. 799–811. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001488.

[BE92]

Paul Bressler and Sam Evens. “Schubert calculus in complex cobordism”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 331.2 (1992), pp. 799–813. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154142.

[Fuj22]

Naoki Fujita. “Schubert calculus from polyhedral parametrizations of Demazure crystals”. In: Adv. Math. 397 (2022), Paper No. 108201, 42. arXiv: 2008.04599. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108201.

[Gan14]

Nora Ganter. “The elliptic Weyl character formula”. In: Compos. Math. 150.7 (2014), pp. 1196–1234. arXiv: 1206.0528. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X1300777X.

[Gil19]

Maria Gillespie. “Variations on a theme of Schubert calculus”. In: Recent trends in algebraic combinatorics. Vol. 16. Assoc. Women Math. Ser. Springer, Cham, 2019, pp. 115–158. isbn: 978-3-030-05141-9; 978-3-030-05140-2. arXiv: 1804.08164. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-05141-9_4.

[HK11]

Jens Hornbostel and Valentina Kiritchenko. “Schubert calculus for algebraic cobordism”. In: J. Reine Angew. Math. 656 (2011), pp. 59–85. arXiv: 0903.3936. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2011.043.

[KL72]

S. L. Kleiman and Dan Laksov. “Schubert calculus”. In: Amer. Math. Monthly 79 (1972), pp. 1061–1082. url: https://doi.org/10.2307/2317421.

[KM05]

Allen Knutson and Ezra Miller. “Gröbner geometry of Schubert polynomials”. In: Ann. of Math. (2) 161.3 (2005), pp. 1245–1318. arXiv: math/0110058. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.161.1245.

[KST12]

V. A. Kirichenko, E. Yu. Smirnov, and V. A. Timorin. “Schubert calculus and Gelfand-Tsetlin polytopes”. In: Uspekhi Mat. Nauk 67.4(406) (2012), pp. 89–128. arXiv: 1101.0278. url: https://doi.org/10.1070/RM2012v067n04ABEH004804.

[Lam+14]

Thomas Lam et al. \(k\)-Schur functions and affine Schubert calculus. Vol. 33. Fields Institute Monographs. Springer, New York; Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Toronto, ON, 2014, pp. viii+219. isbn: 978-1-4939-0681-9; 978-1-4939-0682-6. arXiv: 1301.3569.

[LZ]

Cristian Lenart and Kirill Zainoulline. A Schubert basis in equivariant elliptic cohomology. arXiv: 1508.03134.

[LZ17]

Cristian Lenart and Kirill Zainoulline. “Towards generalized cohmology Schubert calculus via formal root polynomials”. In: Math. Res. Lett. 24.3 (2017), pp. 839–877. arXiv: 1408.5952. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2017.v24.n3.a11.

[Man01]

Laurent Manivel. Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci. Vol. 6. SMF/AMS Texts and Monographs. Translated from the 1998 French original by John R. Swallow, Cours Spécialisés [Specialized Courses], 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Société Mathématique de France, Paris, 2001, pp. viii+167. isbn: 0-8218-2154-7.

[Sch79]

Hermann Schubert. Kalkül der abzählenden Geometrie. Reprint of the 1879 original, With an introduction by Steven L. Kleiman. Berlin: Springer-Verlag, 1979, p. 349. isbn: 3-540-09233-1.

[Wae30]

Bartel L. van der Waerden. “Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie”. In: Math. Ann. 102.1 (1930), pp. 337–362. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01782350.