PL多様体などの単体分割を持つ多様体に関連したこと

PL 多様体の PL とは, piecewise linear の略であり, 平たく言えば単体分割されている多様体のことである。 正確には, 単体分割された多様体とPL多様体は異なるが。 可微分多様体は単体分割可能なので, PL 多様体は, 位相多様体と可微分多様体の中間に位置するものと考えることができる。

• 多様体の単体分割の問題

基本的な定義については, Dattaの [Dat07] の最初に簡潔にまとめられているので, これを見るのが便利である。 PL多様体の解説としては, Hudson の本 [Hud69] や Rourke と Sanderson の [RS72], そしてBryant の [Bry02] などがある。日本語では本間の本 [本間達80] など。

PL多様体 (より一般に単体分割を持つ空間) の単体分割としては, 共通の細分を持つものは同一視して考えたい。 McClure [McC06] は, PL多様体 \(M\) のPL chain complex \(C_*(M)\) として, simplicial chain complex の細分による colimit を考えている。McClure によると, この細分による colimit をとってできる chain complex は, Goresky と MacPherson [GM80] により intersection homology のために定義されたのが最初らしい。

McClure の [McC06] の目的は, 多様体のループ空間上の Chas-Sullivan product を調べるために, PL 多様体の intersection pairing を見直すことであるが。

• intersection pairing
• \(C_*(M)\otimes C_*(M)\)の中で, intersection pairing が定義される subcomplex は全体と quasi-isomorphic である。
• \(C_*(M)\) は intersection pairing で commutative partial dg algebra になる。

Dancis [Dan84] の結果によると, \(n\)次元の単体分割された多様体は, その \((\frac {n}{2}+1)\)-skeleton から復元できる。

Mnëv が [Mnë] で書いているように, 単体への分割ではなく, polyhedral complex (PL regular cell complex) による分割を考えるのも自然に思える。Mnëv はこの論文の中で, PL多様体の\(X\)の上のPL regular cell 分割の成す poset の分類空間を考え て, それと \(X\) の PL homeomorphism の成す simplicial group との関係を調べている。

PL多様体と類似の概念として, combinatorial manifold や pseudomanifold がある。

• combinatorial manifold
• combinatorial differentiable manifold [Mac93]
• pseudomanifold
• pseudomanifold が normal であること

Combinatorial manifold と呼ばれる構造はいくつかあるようで, まぎらわしい。 例えば, MacPherson の他に Kühnel の [Küh95] がある。

McClureの結果の PL pseudomanifold への一般化は, Friedman [Fri09] が行っている。

• PL pseudomanifold のPL chain complex \(C_*(M)\) について, \(C_*(M)\otimes C_*(M)\) の中で, intersection pairing が定義される subcomplex は全体と quasi-isomorphic である。また, \(C_*(M)\) は intersection pairing で commutative partial dg algebra になる。

現在では, このような単体分割された多様体は, 組み合せ論の研究対象としても, 重要なものになっているようである。例えば, Bagchi と Datta は [BD08] で normal pseudomanifold の面の数についての lower bound theorem について述べている。また Benedetti [Ben11] や Ziegler [BZ11] は, 物理学者 の Durhuus と Jonsson [DJ95] により導入された, locally constructible manifold という種類の PL 多様体について調べている。

• locally constructible manifold

Adiprasito と Benedetti [AB17] は, 単体分割された多様体が PL disk やPL sphere であるための必要十分条件を, shellability を用いて記述することに成功した。 そしてそれを用いて単体分割された多様体が PL 多様体であるための条件も得ている。

References

[AB17]

Karim A. Adiprasito and Bruno Benedetti. “Subdivisions, shellability, and collapsibility of products”. In: Combinatorica 37.1 (2017), pp. 1–30. arXiv: 1202.6606. url: https://doi.org/10.1007/s00493-016-3149-8.

[BD08]

Bhaskar Bagchi and Basudeb Datta. “Lower bound theorem for normal pseudomanifolds”. In: Expo. Math. 26.4 (2008), pp. 327–351. arXiv: 0802.3747. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.exmath.2008.06.002.

[Ben11]

Bruno Benedetti. “Collapses, products and LC manifolds”. In: J. Combin. Theory Ser. A 118.2 (2011), pp. 586–590. arXiv: 0911. 4656. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2010.05.001.

[Bry02]

John L. Bryant. “Piecewise linear topology”. In: Handbook of geometric topology. Amsterdam: North-Holland, 2002, pp. 219–259.

[BZ11]

Bruno Benedetti and Günter M. Ziegler. “On locally constructible spheres and balls”. In: Acta Math. 206.2 (2011), pp. 205–243. arXiv: 0902.0436. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-011-0062-2.

[Dan84]

Jerome Dancis. “Triangulated \(n\)-manifolds are determined by their \([n/2]+1\)-skeletons”. In: Topology Appl. 18.1 (1984), pp. 17–26. url: http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(84)90028-2.

[Dat07]

Basudeb Datta. “Minimal triangulations of manifolds”. In: J. Indian Inst. Sci. 87.4 (2007), pp. 429–449. arXiv: math/0701735.

[DJ95]

Bergfinnur Durhuus and Thórdur Jónsson. “Remarks on the entropy of \(3\)-manifolds”. In: Nuclear Phys. B 445.1 (1995), pp. 182–192. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(95)00207-9.

[Fri09]

Greg Friedman. “On the chain-level intersection pairing for PL pseudomanifolds”. In: Homology, Homotopy Appl. 11.1 (2009), pp. 261–314. arXiv: 0808. 1749. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832568.

[GM80]

Mark Goresky and Robert MacPherson. “Intersection homology theory”. In: Topology 19.2 (1980), pp. 135–162. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90003-8.

[Hud69]

J. F. P. Hudson. Piecewise linear topology. University of Chicago Lecture Notes prepared with the assistance of J. L. Shaneson and J. Lees. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969, pp. ix+282.

[Küh95]

Wolfgang Kühnel. Tight polyhedral submanifolds and tight triangulations. Vol. 1612. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1995, pp. vi+122. isbn: 3-540-60121-X.

[Mac93]

Robert MacPherson. “Combinatorial differential manifolds”. In: Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY, 1991). Houston, TX: Publish or Perish, 1993, pp. 203–221.

[McC06]

J. E. McClure. “On the chain-level intersection pairing for PL manifolds”. In: Geom. Topol. 10 (2006), 1391–1424 (electronic). arXiv: math/0410450. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2006.10.1391.

[Mnë]

Nikolai Mnëv. Combinatorial fiber bundles and fragmentation of a fiberwise PL-homeomorphism. arXiv: 0708.4039.

[RS72]

C. P. Rourke and B. J. Sanderson. Introduction to piecewise-linear topology. New York: Springer-Verlag, 1972, p. viii 123.

[本間達80]

本間達夫. 組合せ位相幾何学. 東京: 共立出版, 1980, p. 230.