K-theory

\(K\)-theoryは様々な分野に様々な形で現われる。それほど自然な概念である。最近 ではstring theory\(D\)-braneVerlinde algebra などの概念との関連も発見されている。

例えばAtiyahの “\(K\)-theory Past and Present” [Ati01]を 見るとよい。非常に簡潔にまとまった入門的な文章としては, Karoubiの [Kar]がある。Clay Mathematics Instituteでの講演録らし い。Algebraic \(K\)-theoryとoperator algebraの\(K\)-theoryとtopological \(K\)-theoryの関係についての解説としては, Cortiñasのlecture note [Cor11]がある。 様々な分野で\(K\)-theoryがどのように使われているかについて, より詳しくは “Handbook of \(K\)-theory” [FG05]を見るとよい。 ここで online 版 が公開されている。章ごとにバラバラのPDFになっているが。

このように\(K\)-theoryがあらゆるところに顔を出すのは, Grothendieck group がcategorificationの逆の操作, decategorificationであることが一つの理由だろうか。

重要な性質として周期性を持つことがあるが, その性質に着目し高次の周期性 を考えることがstable homotopy theoryで行な われている。

References

[Ati01]

Michael Atiyah. “\(K\)-theory past and present”. In: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Berlin: Berliner Math. Gesellschaft, 2001, pp. 411–417. arXiv: math/0012213.

[Cor11]

Guillermo Cortiñas. “Algebraic v. topological \(K\)-theory: a friendly match”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2011, pp. 103–165. arXiv: 0903.3983. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0_3.

[FG05]

Eric M. Friedlander and Daniel R. Grayson, eds. Handbook of \(K\)-theory. Vol. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag, 2005, Vol. 1: xiv+535 pp., Vol. 2: pp. i–x and 537–1163. isbn: 978-3-540-23019-9; 3-540-23019-X. url: http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/.

[Kar]

Max Karoubi. \(K\)-theory. An elementary introduction. arXiv: math/0602082.