Grothendieck Construction

Small category \(I\) から small category の category への functor \[ F : I \longrightarrow \category {Cat}, \] つまり \(I\) で index の付いた small category の族, から一つの category \(\mathrm {Gr}(F)\) を 作る操作がある。Grothendieck construction と呼ばれる構成である。その構成 は, (op)lax functor に対してもそのまま使える。むしろ, Grothendieck construction の本質を知るためには, (op)lax functor に対する構成を理解するべ きだろう。Grothendieck construction と(op)lax functor について書いてある 文献としては, 例えば Goerss と Jardine の本 [GJ09] がある。 その元になっていると思われるのは Thomason の [Tho79] なので, そちらも目を通すべきだろう。

  • oplax functor \(F : I \to \category {Cat}\) に対する Grothendieck construction \(\mathrm {Gr}(F)\)
  • Grothendieck construction は oplax functor の category から small category の category への functor \[ \mathrm {Gr} : \category {Oplax}(I,\category {Cat}) \rarrow {} \category {Cat} \] を与える。
  • \(\mathrm {Gr}\)は constant diagram functor \[ \Delta : \category {Cat} \rarrow {} \category {Oplax}(I,\category {Cat}) \] の left adjoint

この \(\mathrm {Gr}\) が left adjoint であるという事実は, Thomason の論文で述べられているが, そこには元々は J. Gray の結果 [Gra69] であると書いてある。

Oplax functor \(F : I \to \category {Cat}\) の Grothendieck construction \(\mathrm {Gr}(F)\) は functor \[ \pi _F : \mathrm {Gr}(F) \longrightarrow I \] を持つ。この functor の comma category \(\pi _F\downarrow i\) を考えると (strictな) functor \[ \pi _F\downarrow (-) : I \longrightarrow \category {Cat} \] を得る。これは \(F\) の strict化とも言えるもので, Grothendieck construction の分類空間が \(I\) の各object \(x\) に対する \(F(x)\) の分類空間の ホモトピー余極限であるという, 有名なThomason の結果 [Tho79] の証明でも使われている。

  • Grothendieck construction と homotopy colimit の関係

これについては, まず Dwyer の [DH01] を読んでから Thomason の論文を読むのが良いと思う。

射影 \(\pi _F : \mathrm {Gr}(F)\to I\) に対しては, その section の成す圏も考えられている。\(I\) が群の場合は, 本質的には, Drinfel\('\)d らにより [Dri+10] で使われている equivariantization と呼ばれる構成と一致する。 より一般の小圏の場合は, Cirici の [Cir] で考えられている。

  • Grothendieck construction の section の成す圏

Grothendieck construction の拡張もいくつか考えられている。Jardine の [Jar10] では, 定義域の圏が groupoid で enrich されている場合について述べられている。

より一般の monoidal category で enrich された場合については, [Tam] に考えたことをまとめた。それは, enrich している monoidal category が \(k\)-module の圏のような, Cartesian から程遠い場合を想定して考えたものだ が, Bearsley と Wong [BW19] は, semi-Cartesian monoidal category で enrich した場合を考えている。私の構成との比較も書かれている。

Dwyer と Kan の [DK80] では, two-sided Grothendieck construction や transfunctor に対する Grothendieck construction が定義され, 用いられている。Grothendieck construction の functoriality や homotopy 不変性などについても述べられている。Meyer [Mey86] は internal category の場合について, two-sided Grothendieck construction を考えている。

Model category の diagram に対する Grothendieck construction は Harpaz と Prasma の [HP15] で調べられている。

Bicategory や \(2\)-category の図式に対する Grothendieck construction は, [CCG11; Ceg11] で考えられている。 より古くは, Quillen により monoidal category の category への作用からの category の構成として現れている。文献としては, Grayson の [Gra76] を挙げるべきだろう。最近では, Randall-Williams と Wahl の[WR] や Soulié [Sou] で使われている。

Raptis の [Rap14] では, topological category の場合が使われている。

\((\infty ,1)\)-category の場合, Mazel-Gee [Maz] によるものがある。 Dyckerhoff の [Dyc21] でも使われている。

\((\infty ,2)\)-category の場合も, Abellán Garcia と Stern の [GS] で考えられている。

Institutionというcomputer scienceの理論で使われる categoryにいくつかの構造を付加したものへの一般 化を考えているのは, Diaconescu [Dia02]である。

References

[BW19]

Jonathan Beardsley and Liang Ze Wong. “The enriched Grothendieck construction”. In: Adv. Math. 344 (2019), pp. 234–261. arXiv: 1804. 03829. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.12.009.

[CCG11]

P. Carrasco, A. M. Cegarra, and A. R. Garzón. “Classifying spaces for braided monoidal categories and lax diagrams of bicategories”. In: Adv. Math. 226.1 (2011), pp. 419–483. arXiv: 0907.0930. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.06.027.

[Ceg11]

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[Cir]

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[DH01]

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[Dia02]

Răzvan Diaconescu. “Grothendieck institutions”. In: Appl. Categ. Structures 10.4 (2002), pp. 383–402. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1016330812768.

[DK80]

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[Dri+10]

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[Dyc21]

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[GJ09]

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[Gra69]

John W. Gray. “The categorical comprehension scheme”. In: Category Theory, Homology Theory and their Applications, III (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. Three). Berlin: Springer, 1969, pp. 242–312.

[Gra76]

Daniel Grayson. “Higher algebraic \(K\)-theory. II (after Daniel Quillen)”. In: Algebraic \(K\)-theory (Proc. Conf., Northwestern Univ., Evanston, Ill., 1976). Berlin: Springer, 1976, 217–240. Lecture Notes in Math., Vol. 551.

[GS]

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[HP15]

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[Jar10]

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[Maz]

Aaron Mazel-Gee. All about the Grothendieck construction. arXiv: 1510.03525.

[Mey86]

Jean-Pierre Meyer. “Bar constructions and Grothendieck constructions”. In: Bull. Soc. Math. Belg. Sér. A 38 (1986), 303–311 (1987).

[Rap14]

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[Sou]

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[Tam]

Dai Tamaki. The Grothendieck construction and gradings for enriched categories. arXiv: 0907.0061.

[Tho79]

R. W. Thomason. “Homotopy colimits in the category of small categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 85.1 (1979), pp. 91–109. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100055535.

[WR]

Nathalie Wahl and Oscar Randal-Williams. Homological stability for automorphism groups. arXiv: 1409.3541.