Coxeter groupとCoxeter system

Reflection group を扱った教科書は数多く, Coxeter system のことも含まれているものも多い。例えば, Humphreys の本 [Hum90] のように。 Björner と Brenti の本 [BB05] や Michael Davis の本 [Dav08] は, Coxeter system の定義から始まっているが, Humphreys の本のように real reflection group に慣れておいてから Coxeter system の定義を見る方がよいと思う。

Coxeter system からは Coxeter graph などが定義される。

  • Coxeter system
  • Coxeter graph

グラフからは, 頂点を生成元とし頂点が辺で結ばれているときに対応する生成元が可換という条件により Coxeter system が定義できる。 できた Coxeter group を right-angled Coxeter group という。

Michael Davis の本 [Dav08] では, Coxeter system の Cayley graph による特徴付けが得られている。 そのために reflection system という名前の構造が導入されている。

  • reflection system

ここで, reflection とは, Coxeter system \((W,S)\) の生成元 \(S\) から共役をとってできる元のことをいう。Coxeter system は reflection group を抽象化したものだから, reflection が重要な役割を果すのは当然である。Davis の仕事以外でも, Bessis の dual braid monoid [Bes03] などで使われる。 Reflection 自体を調べたものとしては, Mühlherr らの [FHM06; CM07] などがある。

有限の場合, Coxeter system よって finite reflection arrangement は, その Cayley graph が mirror graph という種類のグラフになることで特徴付けられることを Marc [Mar] が示している。

通常扱うのは有限の場合であるが, 無限 Coxeter system を考えている人もいる。 Dyer と Hohlweg と Ripoll の [DHR] では Davis の本 [Dav08] と Abramenko と Brown の本 [AB08] が参照されている。 また, 生成元が無限個ある Coxeter system を考える必要があるのか, と MathOverflow で聞いているのは, Humphreys である。

Coxeter system からは, いくつかの単体的複体が定義される。 Coxeter complex や Michael Davis による Davis complex など。

Davis complex については, Davis の本 [Dav08] や論文 [Dav83] が Davis の web page から download できるので, それを読むのがよいと思う。

Davis と Okun は, [DO01] で, Davis complex を用いた \(\ell ^2\)-homology の消滅に関する Singer conjecture への approach を考えている。その仮定で planar graph の forbidden minor の一つである \(K_{3,3}\) が planar でないということの “complicated proof” を得ている。もう一つの forbidden minor である \(K_5\) の場合を考えたのが, Schroeder の [Sch] である。

Knutson と Miller は, [KM05; KM04b] で subword complex というものを定義した。その性質が, Olteanu [Olt] で調べられている。 Drew Armstrong は, [Arm09] で sorting order を定義し, subword complex などとの関連を, [AH11] で Hersh と共に調べている。

  • subword complex
  • sorting order

Coxeter system のデータからは, 他にも様々なものが定義される。

  • bracket algebra [KM04a]
  • Soergel category

Soergel の論文は, 残念ながらドイツ語で書かれているが, その Soergel の構成の 別の構成が, Fiebig により [Fie08] で与えられている。その Introduction では, categorification という言葉が使われているが, 何の categorification になっているのだろうか。

Fiebig の論文では, Coxeter system から Braden と MacPherson の moment graph が構成されている点で興味深い。それに関しては, 同じく Fiebig の [Fie06] も見 るとよい。

グラフとの関連では, Larsen と Lindenstrauss の [LL]がある。 彼らは Coxeter system \((W,S)\) とその graph の independence complex の関係 を調べるために, \(\Z [W]\)-module から cochain complex を定義し, そのコホモロジーを調べている。彼らはそれを Coxeter cohomology と呼んでいる。

  • Coxeter cohomology

Euclid空間ではなく可微分多様体に作用する群も考えられている。つまり, 可微分多様体の diffeomorphism group の離散部分群で, 位数2の元で生成されているものである。Das と Deshpande の [DD] では, Coxeter transformation group と呼ばれている。

  • Coxeter transformation group

文献としては, Alexeevsky らの [Ale+07], Michael Davis の本 [Dav08] の Chapter 10, Gutkin の [Gut86] が挙げられている。

Coxeter group (system) の一般化として重要なのは, complex reflection group など pseudoreflection で生成された群であるが, 他もいくつか考えられている。 Krammer [Kra08] の fully colored graph や Heckenberger と Yamane [HY08] の Coxeter groupoid, そして Radcliffe [Rad] の hyperreflection group など。

References

[AB08]

Peter Abramenko and Kenneth S. Brown. Buildings. Vol. 248. Graduate Texts in Mathematics. Theory and applications. New York: Springer, 2008, pp. xxii+747. isbn: 978-0-387-78834-0.

[AH11]

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[Ale+07]

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[Arm09]

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[BB05]

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[Bes03]

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[Dav08]

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[Dav83]

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[DD]

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[DHR]

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[DO01]

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[FHM06]

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[Fie06]

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[Fie08]

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[Gut86]

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[Hum90]

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[HY08]

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[KM04a]

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[KM05]

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[Kra08]

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[LL]

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[Rad]

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[Sch]

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