A∞-category

\(A_{\infty }\)-category は Fukaya [Fuk93; Fuk97] により導入された概念である。 \(k\)-linear category あるいは dg category\(A_{\infty }\)版と思ってもよいし, \(A_{\infty }\)-algebra の many objectification と思ってもよい。

解説としては, Paul Seidel の本 [Sei08] がよいだろう。 Keller の学生だった Lefèvre-Hasegawa の thesis [Lef] もあるが, フランス語である。Bespalov と Lyubashenko と Manzyuk の本 [BLM08] もある。

Kontsevich と Soibelman は, [KS01] で \(A_{\infty }\)-pre-category という概念を定義した。特定の組に対してのみ “morphism の成す module” が定義されるもので, Fukaya category の定義される状況をより正確に表わしたものである。 Effimov の [Efi11] によると, そのような部分的に morphism が定義されたものは, \(A_{\infty }\)-category と取り替えることができるようである。

  • \(A_{\infty }\)-pre-category

ホモロジー代数的には, \(A_{\infty }\)-category は dg category の一般化と考えることができる。つまり dg category から canonical な方法で \(A_{\infty }\)-category を定義することができる。

当然 dg category に関する構成を \(A_{\infty }\)-category に一般化しよういう試みがある。まず \(A_{\infty }\)-category に対しては, derived category を構成することができる。

  • twisted complex
  • twisted complex の圏の homology category としての derived category
  • \(A_{\infty }\)-category の derived category は triangulated category の構造を持つ

Twisted complex というのは, Bondal と Kapranov が [BK90] で dg category に対して定義したものの \(A_{\infty }\)版である。Ueda と Yamazaki の [UY] によると, Kontsevich が [Kon95] で \(A_{\infty }\)-category に一般化したらしい。

Bondal と Kapranov が考えたのは, homology category を取って triangulated category になるような dg category の特徴付けである。彼等は, twisted complex を用いて dg category の category の上の monad を構成し, それによりそのような dg category (pretriangulated dg category) を特徴づけている。

そのタイトルからも分かるように, Bespalov と Lyubashenko と Manzyuk の本 [BLM08] は, その \(A_{\infty }\)版を目指したものである。

  • pretriangulated \(A_{\infty }\)-category

Bondal と Kapranov の構成の一般化を考えているので, monad や operad (multicategory) などの道具を用いて書かれている。 その準備がかなりの部分を占めるので, 読むのは大変である。Lyubashenko らによる個別の論文を見た方がよいかもしれない。

また (small) \(A_{\infty }\)-category に対しては, nerve も定義される。 Faonte の [Fao17] である。Lurie も考えていたようであるが。

  • \(A_{\infty }\)-nerve of \(A_{\infty }\)-category

\(A_{\infty }\)-category の nerve は simplicial set であるが, quasicategory (\((\infty ,1)\)-category) になっていることが Faonte により示されている。 Mattia [Orn] は pretriangulated \(A_{\infty }\)-category の nerve が stable \((\infty ,1)\)-category になっていることを示している。

Quiver から free category が生成されるように, differential graded quiver から free \(A_{\infty }\)-category が生成されることは, Lyubashenko と Manzyuk の [LM06] にある。

Drinfel’d による dg category の quotient を \(A_{\infty }\)-category の quotient に拡張したのは, Lyubashenko と Ovsieko の [LO06] である。

  • \(A_{\infty }\)-category の quotient

\(A_{\infty }\)-category の圏を考えているのは Lyubashenko の [Lyu03] である。特に, 二つの \(A_{\infty }\)-category の間の \(A_{\infty }\)-functor の圏が \(A_{\infty }\)-category になることを示している。

  • \(A_{\infty }\)-functor

\(A_{\infty }\)-category の定義には, identity morphism に関するものは含まれていない。そこで, up to homotopy で identity morphism を持つ \(A_{\infty }\)-category の定義を見つけようと考えるのは自然なことである。 実際, [Lyu03; KS09; Fuk02] といった試みがある。 Lyubachenko と Manzyuk [LM] によるとこれらは同値なようである。

Kontsevich と Soibelman [KS09] によると, \(A_{\infty }\)-algebra は, ある種の noncommutative graded manifold とみなすことができ, その視点から, \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-category と noncommutative geometry の間の辞書を作るのは意味のあることのようである。

\(A_{\infty }\)-category は, conformal field theory からも作られる。Costello は, [Cos07] で, open topological conformal field theory と Calabi-Yau \(A_{\infty }\)-category の対応を構成している。

  • Calabi-Yau \(A_{\infty }\)-category

Object 全体が幾何学的構造を持つものも考えられる。Kontsevich と Soibelman が [KS] で考えているのは, object 全体がある scheme の constructible set の ind object になっている場合である。

  • ind-constructible \(A_{\infty }\)-category

Kontsevich と Soibelman は, object の成す ind-constructible set 上の superline bundle を考え, orientation data という概念を定義した。それについて, Davison [Dav] が調べている。

References

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

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[Cos07]

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[Orn]

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[Sei08]

Paul Seidel. Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory. Zurich Lectures in Advanced Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2008, pp. viii+326. isbn: 978-3-03719-063-0. url: http://dx.doi.org/10.4171/063.

[UY]

Kazushi Ueda and Masahito Yamazaki. Homological mirror symmetry for toric orbifolds of toric del Pezzo surfaces. arXiv: math/ 0703267.