Groupoidification

Groupoidification は, Baez と Dolan により導入された categorification の一種である。 Groupoid に対し, その object の同型類の集合上の実数値関数の成すベクトル空間を対応させことを “degroupoidification” と呼び, その逆の対応になっているようなものを groupoidification と呼ぶ。

• degroupoidification

よって, 基本的にはベクトル空間に対し“その元になっている groupoid” を対応させる構成である。線形作用素に対しては, functor ではなく span を対応させる。

まずは, Baez, Hoffnung, Walker の [BHW10] を見るべきだろう。 そこで挙げられているのは, 以下のような例である。

• Joyal の structure type の一般化である stuff type [BD01]
• Fock space の groupoidification は, 有限集合と全単射の成す groupoid
• Hecke algebra の groupoidification
• Hall algebra の groupoidification

Censor と Grandini [CG] は groupoidification を topological grouopoid (Haar measure を持つ groupoid) に拡張しようとしている。

Morton と Vicary [MV] は, Khovanov [Kho14] による Heisenberg algebra の categorification を groupoidification の視点から解釈しようとしている。

References

[BD01]

John C. Baez and James Dolan. “From finite sets to Feynman diagrams”. In: Mathematics unlimited—2001 and beyond. Berlin: Springer, 2001, pp. 29–50. arXiv: math/0004133.

[BHW10]

John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher D. Walker. “Higher dimensional algebra VII: groupoidification”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 18, 489–553. arXiv: 0908.4305.

[CG]

Aviv Censor and Daniele Grandini. Weak Pullbacks of Topological Groupoids. arXiv: 1101.3219.

[Kho14]

Mikhail Khovanov. “Heisenberg algebra and a graphical calculus”. In: Fund. Math. 225.1 (2014), pp. 169–210. arXiv: 1009.3295. url: https://doi.org/10.4064/fm225-1-8.

[MV]

Jeffrey C. Morton and Jamie Vicary. The Categorified Heisenberg Algebra I: A Combinatorial Representation. arXiv: 1207.2054.