Picard Groups in Stable Homotopy Theory

Stable homotopy theory における Picard 群については, Mathew と Stojanoska の [MS16] の Part I を見るとよい。

まず, spectrum 全体の category \(\category {Sp}\) の homotopy category の Picard 群については, \[ \mathrm {Pic}(\category {Sp}) \cong \Z \] であることが分かっている。球面 spectrum の suspension で代表される。 つまり, spectrum の homotopy category で invertible なものは, 球面 spectrum の suspension しかない, ということである。 Mathew と Stojanoska の論文では, Hopkins, Mahowald, Sadofsky の [HMS94] が参照されている。

このように, 大きな圏の Picard group を考えるときには, invertible object 全体が集合になるかどうかが問題になるが, presentable である場合には大丈夫であることは, Mathew と Stojanoska の論文に書かれている。

Stable homotopy theory に現れる symmetric monoidal category としては, commutative ring spectrum \(E\) 上 の module category \(\lMod {E}\) や \(E\)-local spectrum の成す category がある。

前者の例として, Mathew と Stojanoska の論文には, complex \(K\)-theory や \(\mathrm {KO}\) の場合が書かれている。 彼等の目的は, topological modular form の場合であるが。

後者の例としては, Hopkins, Mahowald, Sadofsky [HMS94] や Goerss, Henn, Mahowald, Rezk [Goe+15] などのより \(K(n)\)-local spectrum の場合が調べられている。

References

[Goe+15]

Paul Goerss, Hans-Werner Henn, Mark Mahowald, and Charles Rezk. “On Hopkins’ Picard groups for the prime 3 and chromatic level 2”. In: J. Topol. 8.1 (2015), pp. 267–294. arXiv: 1210.7033. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtu024.

[HMS94]

Michael J. Hopkins, Mark Mahowald, and Hal Sadofsky. “Constructions of elements in Picard groups”. In: Topology and representation theory (Evanston, IL, 1992). Vol. 158. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, pp. 89–126. url: https://doi.org/10.1090/conm/158/01454.

[MS16]

Akhil Mathew and Vesna Stojanoska. “The Picard group of topological modular forms via descent theory”. In: Geom. Topol. 20.6 (2016), pp. 3133–3217. arXiv: 1409 . 7702. url: https://doi.org/10.2140/gt.2016.20.3133.