Dold-Thom Criterion for Quasifibrations

一般に, quasifibration の pullback は, quasifibration とは限らないので, 新しく quasifibration を作るのは, fibration より難しい。

Dold と Thom は, [DT58] で quasifibration の概念を導入した際に, quasifibration であることを証明するためのテクニックも導入した。 その条件を Dold-Thom criterion と呼ぶ。

• \(\mathcal {O}\) を有限個の共通部分を取る操作で閉じた \(X\) の開被覆とする。 連続写像 \(p:E\to X\) に対し, 各 \(U \in \mathcal {O}\) が distinguished ならば \(X\) も distinguished, つまり \(p\) は quasifibration である。

上の形ではなく次の形で使われる方が多い。

• \(X\) の filtration \(\{F_nX\}_{n\ge 0}\) と連続写像 \[ p : E \longrightarrow X \] が次の条件をみたすとする:

  • \(X\) は被覆 \(\{F_nX\}_{n\ge 0}\) に関し weak topology を持つ
  • 各 \(n>0\) に対し包含写像 \[ F_{n-1}X \hookrightarrow F_nX \] はコファイブレーション
  • \(F_0X\) は distinguished
  • 各 \(n>0\) に対し, 任意の開集合 \(U \subset F_nX\setminus F_{n-1}X\) は distinguished

  • 各 \(n>0\) に対し, \(F_{n-1}X\) の \(F_nX\) の中での開近傍 \(U_n\) と写像 \[ \begin {split} h & : U_n\times I \longrightarrow U_n \\ H & : p^{-1}(U_n)\times I \longrightarrow p^{-1}(U_n) \end {split} \] で次の条件をみたすものが存在する:

    • \(h\) は \(U_n\) の \(F_{n-1}X\) への deformation
    • \(H\) は \(p^{-1}(U_n)\) の \(p^{-1}(F_{n-1}X)\) への deformation
    • \((H_1,h_1)\) は fiber を保つ写像
    • 各 \(x \in U_n\) に対し \[ H_1 : p^{-1}(x) \longrightarrow p^{-1}(h_1(x)) \] は弱同値

  このとき \(p\) は quasifibration である。

これも Dold-Thom criterion と呼ばれる。 ある写像が quasifibration であることを示すときには, 必ずこの Dold-Thom criterion のお世話になる, と言っても間違いではないだろう。例えば, QuillenのTheorem B の証明でも使われている。

この Dold-Thom criterion も含め, quasifibration と弱同値については, May の論文 [May90] を見るとよい。

May の仕事を発展させ, Dold-Thom criterion を \(n\)-equivalence, そして weak homotopy equivalence に拡張したものとして, Witbooi の [Wit00] がある。

より古くは, Hardie の [Har70] でも, quasifibration と cofibration の関係が調べられている。

References

[DT58]

Albrecht Dold and René Thom. “Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte”. In: Ann. of Math. (2) 67 (1958), pp. 239–281. url: https://doi.org/10.2307/1970005.

[Har70]

K. A. Hardie. “Quasifibration and adjunction”. In: Pacific J. Math. 35 (1970), pp. 389–397. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102971633.

[May90]

J. P. May. “Weak equivalences and quasifibrations”. In: Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988). Vol. 1425. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1990, pp. 91–101. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0083834.

[Wit00]

P. J. Witbooi. “Globalizing weak homotopy equivalences”. In: Topology Appl. 100.2-3 (2000), pp. 229–240. url: https://doi.org/10.1016/S0166-8641(98)00088-1.