Umbral Calculus

Formal power series は, 代数的トポロジーでも重要な道具である。 例えば, complex oriented cohomology theory に付随する formal group law として現れる。

その辺のことを勉強しているときに, Ray の [Ray87] で umbral calculus というものを知った。 Umbral calculus が何であるかを知るには, Di Bucchianico と Loeb の survey [DL95] を見るのが手っ取り早い, と思う。 本文自体は 9ページしかないが, 506もの文献を挙げているので34ページになっている。

それによると, umbral calculus とは単項式 \(x^0,x^1,\ldots , x^n,\ldots \) と似た性質を持つ多項式の列 \(p_{0},p_{1},\ldots , p_{n},\ldots \) の研究である。

例えば, \((x)_{n}=x(x-1)\cdots (x-n+1)\) については, 2項係数の類似や, Taylor 展開の類似が成り立つことが知られている。ただし, Taylor 展開では微分 \(\frac{d}{dx}\) を forward difference operator \((\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\) に変えないといけないが。

他に, 最初に読む文献としては, Roman の本 [Rom84] や Roman と Rota の [RR78] などがある。

基本的に formal power series と関係していることは, umbral calculus が使えると思ってよいようである。 Di Bucchianico と Loeb の survey [DL95] には次のような応用が挙げられている。

他にも numerical analysis, 統計, 確率論, invariant theory などへの応用もあるらしい。

また, 彼等の survey に載っていないこととして次のようなものもある。

一般化や変種も Di Bucchianico と Loeb の survey に書かれている。

  • Sheffer polynomial から generalized Appell polynomial (Boas-Buck polynomial) への拡張 (Viskov の [Vis75])
  • entire function への拡張 (Grabiner の [Gra88; Gra89])
  • 多変数, そして無限変数への拡張 (Di Bucchianico, Loeb, Rota の [DLR98])
  • \(x^{-1}\) や \(\log x\) を含む場合への拡張 (Loeb の [Loe89; LR89; Loe91])
  • 多項式環上の linear operator への拡張 (Kurbanov と Maksimov の [KM86])
  • 正標数への拡張 (Van Hamme の [Van92] や Verdoodt [Ver96; Ver98])



William Y. C. Chen. “The theory of compositionals”. In: Discrete Math. 122.1-3 (1993), pp. 59–87. url:


Frank M. Cholewinski. The finite calculus associated with Bessel functions. Vol. 75. Contemporary Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1988, pp. xii+122. isbn: 0-8218-5083-0. url:


A. Di Bucchianico and D. Loeb. “A selected survey of umbral calculus”. In: Electron. J. Combin. 2 (1995), Dynamic Survey 3, 28. url:


Alessandro Di Bucchianico, Daniel E. Loeb, and Gian-Carlo Rota. “Umbral calculus in Hilbert space”. In: Mathematical essays in honor of Gian-Carlo Rota (Cambridge, MA, 1996). Vol. 161. Progr. Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1998, pp. 213–238.


Sandy Grabiner. “Convergent expansions and bounded operators in the umbral calculus”. In: Adv. in Math. 72.1 (1988), pp. 132–167. url:


Sandy Grabiner. “Using Banach algebras to do analysis with the umbral calculus”. In: Conference on Automatic Continuity and Banach Algebras (Canberra, 1989). Vol. 21. Proc. Centre Math. Anal. Austral. Nat. Univ. Austral. Nat. Univ., Canberra, 1989, pp. 170–185.


S. A. Joni and G.-C. Rota. “Coalgebras and bialgebras in combinatorics”. In: Stud. Appl. Math. 61.2 (1979), pp. 93–139.


Alexander Nickolaevich Kholodov. “The umbral calculus and orthogonal polynomials”. In: Acta Appl. Math. 19.1 (1990), pp. 1–54.


S. G. Kurbanov and V. M. Maksimov. “Mutual decompositions of differential operators and operators of divided difference”. In: Dokl. Akad. Nauk UzSSR 4 (1986), pp. 8–9.


Daniel Elliott Loeb. The iterated logarithmic algebra. Thesis (Ph.D.)–Massachusetts Institute of Technology. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1989, (no paging).


Daniel E. Loeb. “Sequences of symmetric functions of binomial type”. In: Stud. Appl. Math. 83.1 (1990), pp. 1–30. url:


Daniel E. Loeb. “The iterated logarithmic algebra”. In: Adv. Math. 86.2 (1991), pp. 155–234. url:


Daniel E. Loeb and Gian-Carlo Rota. “Formal power series of logarithmic type”. In: Adv. Math. 75.1 (1989), pp. 1–118. url:


J. Meixner. “Orthogonale Polynomsysteme Mit Einer Besonderen Gestalt Der Erzeugenden Funktion”. In: J. London Math. Soc. 9.1 (1934), pp. 6–13. url:


Ronald Mullin and Gian-Carlo Rota. “On the foundations of combinatorial theory. III. Theory of binomial enumeration”. In: Graph Theory and its Applications (Proc. Advanced Sem., Math. Research Center, Univ. of Wisconsin, Madison, Wis., 1969). Academic Press, New York, 1970, 167–213 (loose errata).


Warren Nichols and Moss Sweedler. “Hopf algebras and combinatorics”. In: Umbral calculus and Hopf algebras (Norman, Okla., 1978). Vol. 6. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982, pp. 49–84.


Nigel Ray. “Symbolic calculus: a 19th century approach to \(M\mathrm{U}\) and BP”. In: Homotopy theory (Durham, 1985). Vol. 117. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987, pp. 195–238.


Nigel Ray. “Umbral calculus, binomial enumeration and chromatic polynomials”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 309.1 (1988), pp. 191–213. url:


Thomas J. Robinson. “Formal calculus and umbral calculus”. In: Electron. J. Combin. 17.1 (2010), Research Paper 95, 31. arXiv: 0912.0961. url:


Steven Roman. The umbral calculus. Vol. 111. Pure and Applied Mathematics. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York, 1984, pp. x+193. isbn: 0-12-594380-6.


Steven M. Roman and Gian-Carlo Rota. “The umbral calculus”. In: Advances in Math. 27.2 (1978), pp. 95–188.


Nigel Ray and Colin Wright. “Colourings and partition types: a generalised chromatic polynomial”. In: vol. 25. B. Eleventh British Combinatorial Conference (London, 1987). 1988, pp. 277–286.


D. Senato, A. Venezia, and J. Yang. “Möbius polynomial species”. In: Discrete Math. 173.1-3 (1997), pp. 229–256. url:


Kazuo Ueno. “Umbral calculus and special functions”. In: Adv. in Math. 67.2 (1988), pp. 174–229. url:


Kazuo Ueno. “Hypergeometric series formulas through operator calculus”. In: Funkcial. Ekvac. 33.3 (1990), pp. 493–518. url:


Lucien Van Hamme. “Continuous operators which commute with translations, on the space of continuous functions on \(\Z _p\)”. In: \(p\)-adic functional analysis (Laredo, 1990). Vol. 137. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Dekker, New York, 1992, pp. 75–88.


Ann Verdoodt. “\(p\)-adic \(q\)-umbral calculus”. In: J. Math. Anal. Appl. 198.1 (1996), pp. 166–177. url:


Ann Verdoodt. “Non-Archimedean umbral calculus”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 5.1 (1998), pp. 55–73. url:


O. V. Viskov. “Operator characterization of generalized Appell polynomials”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 225.4 (1975), pp. 749–752.


Brian G. Wilson and Forrest J. Rogers. “Umbral calculus and the theory of multispecies nonideal gases”. In: Phys. A 139.2-3 (1986), pp. 359–386. url: