Topological Field Theories

多様体を object とし, その間の cobordism を morphism とすると圏が得られる。また disjoint union により symmetric monoidal category になる。これを cobordism category という。

現在では, そのような cobordism category から symmetric monoidal category になっている Abelian category へ の symmetric monoidal functor のことを topological field theory と言うようである。 解説も色々あるが, まずは Freed の [Fre] を読むとよいと思う。 Quantum field theory に関する歴史的なことから, 最近の extended topological quantum field theory まで書いてある。 少し違ったアプローチとしては, Banagl [Ban15; Ban] による system of fields としての記述がある。 Banagl は, Freed の lecture note [Fre93] と Kirk の lecture note [Kir10] を参照している。

考える多様体や cobordism の種類とか値域の category を色々変えて, 様々な種類の topological field theory が得られる。

紐や輪だけでなく, より一般の\(1\)次元 CW複体を particle として考えたものも考えられている。Network topological field theory というらしい。

  • network topological field theory [Nat; VV]

Lurie (と Hopkins) によると, 高次元の場合はより詳しい categorical structure, つまり \(n\)-category を使う必要があるらしい。

Topological quantum field theory に現われる各種の圏論的概念や構成を概観したものとしては, Bartlett の Master’s thesis [Bar] がある。一方, conformal field theory の rigorous な定義の圏論的基礎となることを目指したのは, Fiore の [Fio06] である。

Turaev は, homotopy quantum field theory (HQFT) という概念を導入した。 多様体から固定したある background space への写像の cobordism を考えるもので, どちらかというと fiberwise quantum field theory と言った方が良さそうであるが, その写像の homotopy 類を考えているので homotopy と付いているようである。

Turaev の HQFT に対し, Castillo と Diaz は homological quantum field theory (HLQFT) という概念を [CDb] で提案している。

  • homological quantum field theory

Chas と Sullivan の string topology に基づいたアイデアのようである。彼らはそれに関連して [CDa] で行列の “higher dimensional homological analogue” を定義している。 [CDc] では, \(2\)次元の HLQFT を調べる過程で Riemann 面から多様体への写像の成す空間を調べている。 String topology の2次元版として membrane topology と呼んでいる。

Noncommutative topological field theory を定義しようという試みもある。 Zois [Zoi] の Introduction や Mahanta [Mah] の §4 などに noncommutative topological field theory が必要な理由が書いていある。まだ定式化はされていないようであるが。

  • noncommutative topological field theory

Discrete なモデルを構成することにより, topological field theory に関する具体的なデータを計算するというアイデアもある。そのためには, 多様体を単体分割して考えるので, Mnëv は simplicial program [Mnë09; Mne] と呼んでいる。 もともとは, Andrei Losev のアイデアらしい。

References

[Ban]

Markus Banagl. High-Dimensional Topological Field Theory, Positivity, and Exotic Smooth Spheres. arXiv: 1508.01337.

[Ban15]

Markus Banagl. “Positive topological quantum field theories”. In: Quantum Topol. 6.4 (2015), pp. 609–706. arXiv: 1303.4276. url: https://doi.org/10.4171/QT/71.

[Bar]

Bruce H. Bartlett. Categorical Aspects of Topological Quantum Field Theories. arXiv: math/0512103.

[CDa]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Homological matrices. arXiv: math/0510443.

[CDb]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Homological Quantum Field Theory. arXiv: math/0509532.

[CDc]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Membrane Topology. arXiv: math/0612218.

[Fio06]

Thomas M. Fiore. “Pseudo limits, biadjoints, and pseudo algebras: categorical foundations of conformal field theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 182.860 (2006), pp. x+171. arXiv: math/0408298.

[Fre]

Daniel S. Freed. The cobordism hypothesis. arXiv: 1210.5100.

[Fre93]

Daniel S. Freed. “Lectures on topological quantum field theory”. In: Integrable systems, quantum groups, and quantum field theories (Salamanca, 1992). Vol. 409. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993, pp. 95–156.

[Kir10]

Paul Kirk. “The impact of QFT on low-dimensional topology”. In: Geometric and topological methods for quantum field theory. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, pp. 1–53. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511712135.002.

[Mah]

Snigdhayan Mahanta. Higher nonunital Quillen \(K'\)-theory, \(KK\)-dualities and applications to topological \(\mathbb{T}\)-dualities. arXiv: 1503.06404.

[Mne]

Pavel Mnev. Discrete BF theory. arXiv: 0809.1160.

[Mnë09]

P. Mnëv. “Notes on simplicial BF theory”. In: Mosc. Math. J. 9.2 (2009), 371–410, back matter. arXiv: hep-th/0610326.

[Nat]

S. M. Natanzon. Cyclic Foam Topological Field Theories. arXiv: 0712.3557.

[VV]

E. Verlinde and M. Vonk. String networks and supersheets. arXiv: hep-th/0301028.

[Zoi]

I. P. Zois. Noncommutative Topological Quantum Field Theory-Noncommutative Floer Homology. arXiv: hep-th/0510005.