Open-closed Field Theories

\(2\)次元の topological quantum field theory は, object を \(S^1\) の disjoint union とし, morphism をその間の cobordism として得られる symmetric monoidal category から, ベクトル空間の圏などの代数的な symmetric monoidal category への関手である。つまり, closed string のみ考えたものである。

Open string も含めたものを考えようと思うと, cobordism の定義を拡張する必要がある。当然, manifold with corners を用いる必要が出てくる。

Costello の[Cos07] によると, open-closed conformal field theory は Moore [Moo01] と Segal により公理化されたらしい。Segal の lecture note は ここから download できる。

Costello の [Cos07] の main result は, open topological conformal field theory の圏と Calabi-Yau \(A_{\infty }\)-category の関係である。

他には, Lauda と Pfeiffer の [LP08] などがある。Harrelson の [Har] からわかるように, やはり operad の言葉が有効である。Kong は [Kon08] で open-closed field algebra という概念を定義しているが, そこでは Swiss cheese partial operad というものが使われている。

References

[Cos07]

Kevin Costello. “Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories”. In: Adv. Math. 210.1 (2007), pp. 165–214. arXiv: math/0412149. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.06.004.

[Har]

Eric Harrelson. On the homology of open-closed string field theory. arXiv: math/0412249.

[Kon08]

Liang Kong. “Open-closed field algebras”. In: Comm. Math. Phys. 280.1 (2008), pp. 207–261. arXiv: math/0610293. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0446-0.

[LP08]

Aaron D. Lauda and Hendryk Pfeiffer. “Open-closed strings: two-dimensional extended TQFTs and Frobenius algebras”. In: Topology Appl. 155.7 (2008), pp. 623–666. arXiv: math/0510664. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2007.11.005.

[Moo01]

Gregory Moore. “Some comments on branes, \(G\)-flux, and \(K\)-theory”. In: Strings 2000. Proceedings of the International Superstrings Conference (Ann Arbor, MI). Vol. 16. 5. 2001, pp. 936–944.